2018年秋人教B版数学选修2-3课件1.3.2　杨辉三角 .ppt

1 . 理解杨辉三角的意义 . 2 . 掌握二项式系数的性质并会应用 . 1 2 1 . 杨辉三角 关于 ( a+b ) n 展开式的二项式系数 , 当 n 取正整数时可以单独列成下表的形式 : 上面的二项式系数表称为 “ 杨辉三角 ” 或 “ 贾宪三角 ”, 在欧洲称为 “ 帕斯卡三角 ” . 1 2 名师点拨 解决与杨辉三角有关的问题的一般方法 : 观察 —— 分析 —— 试验 —— 猜想结论 —— 证明 . 要得出杨辉三角中数的诸多排列规律 , 取决于我们的观察能力 , 观察的方法 : 横看、竖看、斜看、连续看、隔行看 , 从多角度观察 . 1 2 【做一做 1 】 如图所示 , 在由二项式系数所构成的杨辉三角中 , 第 　　　　　 行中从左至右第 14 个数与第 15 个数的比为 2 ∶ 3 .  解析 : 由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 2 ∶ 3, 也就是二项展开式的第 14 项和第 15 项的二项式系数比 , 所以 答案 : 34 1 2 1 2 名师点拨 性质 (4) 是各项的二项式系数的和 , 它表明 , 若集合 S 含有 n 个元素 , 那么它的所有子集 ( 包括空集 ) 的个数是 2 n , 该性质又可以写成 1 2 【做一做 2 - 1 】 对于二项展开式 ( a-b ) 2 n+ 1 , 下列结论成立的是 ( 　　 ) A. 中间一项的二项式系数最大 B. 中间两项的二项式系数相等且最大 C. 中间两项的二项式系数相等且最小 D. 中间两项的二项式系数互为相反数 解析 : 因为 ( a-b ) 2 n+ 1 的幂指数为 2 n+ 1, 所以展开式共有 2 n+ 2 项 , 所以中间两项的二项式系数相等且最大 . 答案 : B 1 2 【做一做 2 - 2 】 在 (1 -x ) 6 的展开式中 , 含 x 的奇数次幂的项的系数和为 ( 　　 ) A.32 B. - 32 C.0 D. - 64 答案 : B 题型一 题型二 题型三 题型四 【例 1 】 在 “ 杨辉三角 ” 中 , 每行的两端都是 1, 其余每个数都是它 “ 肩上 ” 两个数的和 ,“ 杨辉三角 ” 开头几行如图所示 . (1) 利用 “ 杨辉三角 ” 展开 (1 -x ) 6 ; (2) 在 “ 杨辉三角 ” 中哪一行会出现相邻的三个数 , 它们的比是 3 ∶ 4 ∶ 5? 分析 运用 “ 杨辉三角 ” 的性质规律可以将二项式系数直接写出来 . 题型一 题型二 题型三 题型四 解 : (1) 根据已知中的规律可以写出第 6 行二项式系数为 1,6,15,20,15,6,1, 所以 ( a+b ) 6 =a 6 + 6 a 5 b+ 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 +b 6 . 令 a= 1, b=-x , 得 (1 -x ) 6 = 1 - 6 x+ 15 x 2 - 20 x 3 + 15 x 4 - 6 x 5 +x 6 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 (1) 若展开式中第 5 项 , 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列 , 求展开式中二项式系数最大的项的系数 ; (2) 若展开式前 3 项的二项式系数和等于 79, 求展开式中系数最大的项 . 分析 (1) 由条件求得 n 的值 , 根据 n 的奇偶性确定所求的项 . (2) 由条件求得 n 的值 , 通过解不等式组求所要求的项 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 (1) 求二项式系数最大的项 , 根据二项式系数的性质 , n 为奇数时 , 中间两项的二项式系数最大 , n 为偶数时 , 中间一项的二项式系数最大 . (2) 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 , 需根据各项系数的正、负变化情况 , 一般采用列不等式 ( 组 ) 的方法求解 . 题型一 题型二 题型三 题型四 【例 3 】 已知 (1 - 2 x ) 7 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + … +a 7 x 7 . 求 :(1) a 1 +a 2 + … +a 7 ; (2) a 1 +a 3 +a 5 +a 7 ; (3) a 0 +a 2 +a 4 +a 6 ; (4) |a 0 |+|a 1 |+|a 2 |+ … +|a 7 |. 分析 本题考查求二项展开式系数和问题 , 常用赋值法 , 注意取值要有利于问题的解决 , 可以取一个值或几个值 , 也可以取几组值 . 题型一 题型二 题型三 题型四 解 : 令 x= 1, 则 a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 =- 1, ① 令 x=- 1, 则 a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +a 4 -a 5 +a 6 -a 7 = 3 7 , ② (4) ∵ (1 - 2 x ) 7 展开式中 , a 0 , a 2 , a 4 , a 6 大于零 , 而 a 1 , a 3 , a 5 , a 7 小于零 , ∴ |a 0 |+|a 1 |+|a 2 |+ … +|a 7 | = ( a 0 +a 2 +a 4 +a 6 ) - ( a 1 +a 3 +a 5 +a 7 ) . ∴ 由 (2),(3) 即可得其值为 1 093 - ( - 1 094) = 2 187 . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 (1) 解决此题 , 可以根据问题恒等式的特点来用 “ 赋值 ” 法 , 这是一种重要的方法 , 它适用于恒等式 . (2) 一般地 , 对于多项式 g ( x ) = ( px+q ) n =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + … +a n x n , g ( x ) 各项的系数和为 g (1) . 题型一 题型二 题型三 题型四 【例 4 】 91 92 被 100 除所得的余数为 ( 　　 ) A.1 B.81 C. - 81 D.9 92 错解 : D 错因分析 由 91 92 = (100 - 9) 92 , 得 (100 - 9) 92 = 显然在展开式中 , 只有最后一项不能被 100 整除 , 故错解 : 中认为余数为 9 92 , 忽略了 9 92 远远大于 100 这一特征 . 因此它也不可能是一个余数 . 1 2 3 4 5 1. (1 +x ) 2 n ( n ∈ N + ) 的展开式中 , 系数最大的项是 ( 　　 ) B. 第 n 项 C. 第 n+ 1 项 D. 第 n 项与第 n+ 1 项 解析 : 系数最大的项为中间项 , 即第 n+ 1 项 . 答案 : C 1 2 3 4 5 2. 在 (1 +x ) n 的展开式中 , 设奇数项系数之和为 A , 偶数项系数之和为 B , 则 A 2 -B 2 等于 ( 　　 ) A.2 n B.2 2 n- 1 C.0 D. - 1 解析 : 由题意得 A=B= 2 n- 1 , 故 A 2 -B 2 = 0 . 答案 : C 1 2 3 4 5 答案 : A 1 2 3 4 5 4. 若 (2 x- 1) 4 =a 0 x 4 +a 1 x 3 +a 2 x 2 +a 3 x+a 4 , 则 -a 0 +a 1 -a 2 +a 3 -a 4 = 　　　　　 .  解析 : 令 x=- 1, 得 a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +a 4 = ( - 3) 4 = 81, 所以 -a 0 +a 1 -a 2 +a 3 -a 4 =- 81 . 答案 : - 81 1 2 3 4 5 答案 : ( n+ 1)·2 n