2019年春人教版八年级下《18.1.2.1平行四边形的判定（1）》课件.ppt

18.1.2 平行四边形判定 第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 平行四边形的判定（ 1 ） 学习目标 1. 经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会 类比思想及探究图形判定的一般思路； （重点） 2. 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件 灵活选取适当的判定定理进行推理论证 . （难点） 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 . A B C D 四边形 ABCD 如果 AB ∥ CD AD ∥ BC B D ABCD A C 问题 1 平行四边形的定义是什么？有什么作用？ 可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如： 导入新课 复习引入 问题 2 除了两组对边分别平行， 平行四边形还有哪些性质？ 平行四边形的对边相等 . 平行四边形的对角相等 . 平行四边形的对角线互相平分 . 边： 角： 对角线： 思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我们一起探讨一下吧 . 问题 3 平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 猜想 观看视频，将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起 , 任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗 ? 讲授新课 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一 你能根据 平行四边形的定义 证明它们吗？ 已知： 四边形 ABCD 中， AB=DC ， AD=BC . 求证： 四边形 ABCD 是平行四边形 . A B C D 连接 AC ， 在△ ABC 和△ CDA 中 , AB = CD ( 已知 ) ， BC = DA ( 已知 ) ， AC = CA ( 公共边 ) ， ∴△ ABC ≌ △ CDA (SSS) ∴ ∠ 1=∠4 , ∠ 2=∠3 ， ∴ AB∥ CD , AD∥ BC ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明： 1 4 2 3 证一证 平行四边形的判定定理： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 . 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ AB = CD , AD = BC , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . B D A C 例 1 如图，在 Rt△ MON 中， ∠ MON ＝ 90°. 求证： 四边形 PONM 是平行四边形． 证明： Rt△ MON 中， 由勾股定理得 ( x － 5) 2 ＋ 4 2 ＝ ( x － 3) 2 ， 解得 x ＝ 8. ∴ PM ＝ 11 － x ＝ 3 ， ON ＝ x － 5 ＝ 3 ， MN ＝ x － 3 ＝ 5. ∴ PM ＝ ON ， OP ＝ MN ， ∴ 四边形 PONM 是平行四边形． 典例精析 例 2 如图，在 △ ABC 中，分别以 AB 、 AC 、 BC 为边在 BC 的同侧作等边 △ ABD 、等边 △ ACE 、等边 △ BCF . 试说明四边形 DAEF 是平行四边形． 解： ∵△ ABD 和 △ FBC 都是等边三角形， ∴∠ DBF ＋ ∠ FBA ＝ ∠ ABC ＋ ∠ ABF ＝ 60° ， ∴∠ DBF ＝ ∠ ABC . 又 ∵ BD ＝ BA ， BF ＝ BC ， ∴△ ABC ≌ △ DBF (SAS) ， ∴ AC ＝ DF ＝ AE . 同理可证 △ ABC ≌ △ EFC ， ∴ AB ＝ EF ＝ AD ， ∴ 四边形 DAEF 是平行四边形． 如图 , AD ⊥ AC , BC ⊥ AC , 且 AB = CD , 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明：在 Rt△ ABC 和 Rt△ ACD 中， ∵ AC = CA , AB = CD , ∴Rt△ ABC ≌ Rt△ CDA (HL), ∴ BC=DA . 又 ∵ AB = CD , ∴ 四边形 PONM 是平行四边形． 练一练 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 二 观看下面视频，对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么 ? 平行四边形 已知：四边形 ABCD 中，∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D ， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . A B C D 又∵∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D ， ∵∠ A +∠ C +∠ B +∠ D =360 °， ∴ 2∠ A +2∠ B =360 °， 即∠ A +∠ B =180 °， ∴ AD∥BC . ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . 同理得 AB ∥ CD ， 证明： 证一证 平行四边形的判定定理： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . B D A C 例 3 如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ∠ B ＝ 55° ， ∠1 ＝ 85° ， ∠2 ＝ 40°. (1) 求 ∠ D 的度数； (2) 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． (1) 解： ∵∠ D ＋ ∠2 ＋ ∠1 ＝ 180° ， ∴∠ D ＝ 180° － ∠2 － ∠1 ＝ 55° ； (2) 证明： ∵ AB ∥ DC ， ∴∠2 ＝ ∠ CAB ， ∴∠ DAB ＝ ∠1 ＋ ∠2 ＝ 125°. ∵∠ DCB ＋ ∠ DAB ＋ ∠ D ＋ ∠ B ＝ 360° ， ∴∠ DCB ＝ ∠ DAB ＝ 125°. 又 ∵∠ D ＝ ∠ B ＝ 55° ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 1. 判断 下列四边形是 否为平行四边形： A D C B 110° 70° 110° A B C D 120° 60° 是 不是 练一练 2. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件： ∠ A :∠ B :∠ C :∠ D 的值为 （　　） A. 1:2:3:4 B. 1:4:2:3 C. 1:2:2:1 D. 3:2:3:2 D 如图 , 将两根细木条 AC 、 BD 的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形 ABCD . 转动两根木条，四边形 ABCD 一直是一个平行四边形吗？ B D O A C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 三 猜想：四边形 ABCD 一直是一个平行四边形 . 你能根据 平行四边形的定义 证明它们吗？ A B C D O 已知：四边形 ABCD 中， OA=OC ， OB=OD . 求证：四边 形 ABCD 是平行四边形 . 证明： 在△ AOB 和△ COD 中 , OA=OC ( 已知 ) ， OB=OD ( 已知 ) ， ∠ AOB= ∠ COD ( 对顶角相等 ) ， ∴ △ AOB ≌ △COD (SAS) ， ∴ ∠ BAO =∠ OCD , ∠ ABO =∠ CDO , ∴ AB∥ CD , AD∥ BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . 证一证 平行四边形的判定定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ AO = CO , DO = BO , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . B O D A C 例 4 如图， □ ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF . 求证： 四边形 BFDE 是平行四边形 . B O D A C E F 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO . ∵ AE = CF ， ∴ AO - AE = CO - CF , 即 EO = OF . 又∵ BO = DO ， ∴四边形 BFDE 是平行四边形 . 典例精析 【变式题】 如图， AC 是平行四边形 ABCD 的一条对角线， BM ⊥ AC 于 M ， DN ⊥ AC 于 N ，四边形 BMDN 是平行四边形吗？说说你的理由． 解：四边形 BMDN 是平行四边形． 理由如下：连接 BD 交 AC 于 O ． ∵ BM ⊥ AC 于 M ， DN ⊥ AC 于 N ， ∴∠ AND =∠ CMB =90°． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD ， A O = C O ， A D = B C ， A D∥B C ， ∴∠ DAN =∠ BCM , ∴△ ADN ≌ △ CBM ，∴ AN = CM ， ∴ O A - AN = OC - CM ，即 ON = OM , ∴四边形 BMDN 是平行四边形． O 拓展探究 昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片 , 只剩下如图所示部分 , 他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来 ? 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢 ( A , B , C 为三顶点 , 即找出第四个顶点 D ) ？ A B C D A B C 方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 . 方法一： D A B C 方法依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 . 方法二： D O A B C 方法依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 方法三： 1. 根据下列条件 , 不能判定四边形为平行四边形的是 ( ) A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线相等 D. 两组对边分别平行 2. 如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O . 如果 AC =8cm, BD =10cm, 那么当 AO =_____cm, BO =_____cm 时，四边形 ABCD 是平行四边形 . B O D A C C 4 5 练一练 当堂练习 1. 判断对错 : (1) 有一组对边平行的四边形是平行四边形 . ( ) (2) 有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边 形一定是平行四边形 . ( ) (3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . ( ) (4) 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四 边形 . ( ) (5) 有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行 四边形 . ( ) √ × × × √ 2. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O ，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　　） A． OA = OC ， OB = OD B． AB = CD ， AO = CO C． AB = CD ， AD = BC D．∠ BAD =∠ BCD ， AB ∥ CD B O D A C B 3. 如图，在四边形 ABCD 中， (1) 如果 AB ∥ CD ， AD ∥ BC ，那么四边形 ABCD 是 ___________. (2) 如果 ∠ A ： ∠ B ： ∠ C ： ∠ D = a ： b ： a ： b ( a , b 为正 数 ), 那么四边形 ABCD 是 __________. (3) 如果 AD =6cm, AB =4cm, 那么当 BC =_______cm, CD =_____cm 时 , 四边形 ABCD 为平行四边形 . B D A C 平行四边形 平行四边形 6 4 4. 如图，五边形 ABCDE 是正五边形，连接 BD 、 CE ，交于点 P ． 求证：四边形 ABPE 是平行四边形． 证明：∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴正五边形的每个内角的度数是 AB = BC = CD = DE = AE ， ∴∠ DEC =∠ DCE = × ( 180°-108° ) =36°， 同理∠ CBD =∠ CDB =36°， ∴∠ ABP =∠ AEP =108°-36°=72°， ∴∠ BPE =360°-108°-72° - 72°=108°=∠ A ， ∴四边形 ABPE 是平行四边形． A B C D E P 5. 如图，已知 E ， F ， G ， H 分别是▱ ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上的点，且 AE = CG ， BF = DH ．求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 证明：在平行四边形 ABCD 中， ∠ A =∠ C ， AD = BC , 又∵ BF = DH ， ∴ AH = CF . 又∵ AE = CG ， ∴△ AEH ≌ △ CGF （SAS）， ∴ EH = GF . 同理得△ BEF ≌ △ DGH （SAS）， ∴ GH = EF ， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 6. 如图， AB 、 CD 相交于点 O ， AC ∥ DB ， AO ＝ BO ， E 、 F 分别是 OC 、 OD 的中点．求证： (1)△ AOC ≌ △ BOD ； (2) 四边形 AFBE 是平行四边形． 证明： (1)∵ AC ∥ BD ， ∴∠ C ＝ ∠ D. 又 ∵∠ COA =∠ DOB ， AO ＝ BO ， ∴△ AOC ≌ △ BOD (AAS) ； (2)∵△ AOC ≌ △ BOD ， ∴ CO ＝ DO . ∵ E 、 F 分别是 OC 、 OD 的中点， ∴ EO ＝ FO . 又 ∵ AO ＝ BO ， ∴ 四边形 AFBE 是平行四边形． 7. 学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？ A 1 A 3 A 2 A B C 课堂小结 平行四边形的判定（ 1 ） 定义法 : 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 . 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .