2018秋人教B版数学选修2-1课件3.1.2　空间向量的基本定理 .ppt

3 . 1 . 2 　空间向量的基本定理 1 . 了解共线或平行向量的概念 , 向量共面的意义 , 掌握它们的表示方法 . 2 . 了解空间向量共线、共面和分解定理 , 会选择适当基底表示空间向量 . 3 . 会用本节知识解决简单的立体几何中的问题 . 1 . 共线向量定理 两个空间向量 a , b ( b ≠ 0 ), a ∥ b 的充要条件是 存在唯一 的实数 x , 使 a =x b . 名师点拨 对于空间任意两个向量 a , b ( b ≠ 0 ), 共线向量定理可分解为以下两个命题 :(1) a ∥ b ⇒ 存在唯一实数 x 使 a =x b ;(2) 存在唯一实数 x , 使 a =x b ⇒ a ∥ b . 【做一做 1 】 若 m = a + b , n =- 3 b - 3 a , 则 m 与 n 共线吗 ? 2 . 共面向量定理 (1) 向量 a 平行于平面 : 向量 a 的基线平行于平面 α 或 在平面 α 内 , 则称向量 a 平行于平面 α , 记作 a ∥ α . (2) 共面向量定义 : 平行于同一平面 的向量 , 叫做共面向量 . 【做一做 2 - 1 】 空间中任意三个向量一定是共面向量吗 ? 请举例说明 . (3) 共面向量定理 . 如果两个向量 a , b 不共线 , 则向量 c 与向量 a , b 共面的充要条件是 : 存在唯一 的一对实数 x , y , 使 c =x a +y b . (4) 三个向量共面 , 又称这三个向量 线性相关 . 名师点拨 1 . a ∥ α 是指 a 的基线在平面 α 内或平行于平面 α . 2 . 共面向量是指这些向量的基线平行于同一平面或在同一平面内 , 共面向量的基线可能相交、平行或异面 . 3 . 共面向量的定理给出了平面的向量表示 , 说明平面内任意一个向量可以由两个不共线的平面向量表示出来 , 它既是判断三个向量是否共面的依据 , 又是已知共面条件的另一种形式 , 可以借已知共面条件化为向量式 , 以便于向量的运算 . 4 . 利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等 . 【做一做 2 - 2 】 若向量 a , b 不共线 , p = 2 b , m = a + b , n = a - b , 则 p , m , n 共面吗 ? 分析 : 利用向量共面的条件 , 存在唯一的一对实数 x= 1, y=- 1, 使 p =x m +y n . 解 : 因为 p = m - n , 所以 p , m , n 共面 . 3 . 空间向量分解定理 如果三个向量 a , b , c 不共面 , 那么对空间任一向量 p , 存在一个 唯一 的有序实数组 x , y , z , 使 p = x a +y b +z c . 这时不共面的三个向量 a , b , c 叫做空间的一个 基底 , 记作 { a , b , c } . 【做一做 3 】 已知空间的一个基底 { a , b , c }, m = a + b , n = a - b , 则 a , b , c 中能与 m , n 构成空间的一个基底的是 　　　　　 .   答案 : c 名师点拨 1 . 用空间三个不共面的已知向量组 { a , b , c } 可以线性表示出空间中的任意一个向量 , 而且表示的结果是唯一的 . 2 . 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底 . 3 . 因为 0 与任意一个非零向量共线 , 与任意两个非零向量共面 , 所以三个向量不共面 , 就隐含它们都不是 0 . 4 . 一个基底是一个向量组 , 一个基向量是指基底中的某一个向量 , 二者是相关联的不同概念 . 1 . 如何理解共线向量定理与共面向量定理 ? 剖析 : (1) 共线向量定理中注意 b ≠ 0 , 否则当 b = 0 时 , 若 a ≠ 0 , 显然 a ∥ b , 但是不存在唯一的实数 x , 使 a =x b , 从而 “ 存在唯一的实数 x , 使 a =x b ” 不再是 a ∥ b 的充要条件 . (2) 向量与平面平行 , 向量所在的直线可以在平面内 , 而直线与平面平行时两者是没有公共点的 . (3) 共面向量不一定是在同一平面内的 , 但可以平移到同一平面内 . (4) 空间中任意两个向量一定是共面向量 . 零向量与任意向量共面 . 2 . 如何理解空间向量分解定理 ? 剖析 : (1) 只有三个向量 a , b , c 不共面 , 其线性组合 x a +y b +z c 才能生成所有的空间向量 , 否则 , 若向量 a , b , c 共面 , 由数乘向量和向量加法的几何意义 , 可知其线性组合 x a +y b +z c 表示的只是与 a , b , c 共面的向量 , 而不是空间的任意向量 . (2) 零向量与任意向量共面 , 所以零向量不能作为基向量 . (3) 注意区分基底与基向量 , 一个基底 { a , b , c } 中的 a , b , c 都叫基向量 . (4) 任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底 ; 任意一个空间的基底都可生成空间的所有向量 ; 每一个空间向量都可被分解到任意一个基底中基向量的三个不同方向 ; 同一个向量在同一个基底下的分解式是唯一的 . 题型一 题型二 题型三 空间向量的共线共面概念 【例 1 】 下列命题正确的是 ( 　　 ) A. 若 a 与 b 共线 , b 与 c 共线 , 则 a 与 c 共线 B. 向量 a , b , c 共面即它们所在的直线共面 C. 若向量 a , b 是非零向量 , 则 a + b 可成为空间向量的一个基向量 D. 若存在唯一的一对实数 x , y , 使 p =x a +y b , 那么向量 p 与向量 a , b 共面 解析 : 对于选项 A, 当 b = 0 时 , a 与 b 共线 , b 与 c 共线 , 但 a 与 c 未必共线 ; 对于选项 B, 直线共面是指直线在同一平面内 , 而向量共面其基线可平行于平面 α 而不在平面 α 内 , 即其基线可以是异面直线 ; 对于选项 C, 当 a =- b 时 , a + b = 0 , 不能成为空间向量的一个基向量 ; 选项 D 符合共面向量定理 . 特别地 , 若向量 a , b 共线 , 则 p 与向量 a , b 共线 , 仍有 p 与向量 a , b 共面 . 答案 : D 题型一 题型二 题型三 反思 注意理解空间向量共线、共面的意义 , 重视零向量与任意向量共线、共面 , 弄清构成空间向量的一个基底的条件 . 题型一 题型二 题型三 判定空间向量共面 分析 : 在图中找封闭的四边形 , 建立向量相等的关系式 . 题型一 题型二 题型三 反思 判断三个 ( 或三个以上 ) 向量共面 , 主要使用空间向量共面定理 , 即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可 . 通常应结合图形 , 选择其中某两个向量作为基向量 , 其他向量都用这两个基向量线性表示 . 当然 , 必要时也可选择目标向量以外的一组基底 , 通过待定系数法 , 建立这三个向量的一个线性关系式 . 题型一 题型二 题型三 空间向量分解定理 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思 要求某向量 m 在给定基底 { a , b , c } 下的分解式 , 就是要找到一组有序实数 x , y , z , 使 m =x a +y b +z c . 一般是寻找一个包含目标向量的封闭多边形 , 通过向量的线性运算 , 先建立向量的关系式 , 将目标向量初步表示出来 , 再逐步将各个向量用给定的基向量 a , b , c 来表示即可 . 1 2 3 4 5 1. 已知向量 a , b 不共线 , p =k a + b , q = a -k 2 b , 若 p , q 共线 , 则 k 的值是 ( 　　 ) A.0 B.1 C. - 1 D.2 解析 : 若 p , q 共线 , 则存在唯一的实数 x , 使 p =x q , 即 k a + b =x a -xk 2 b , 答案 : C 1 2 3 4 5 2. 当 | a |=| b | ≠0, 且 a , b 不共线时 , a+b 与 a-b 的关系是 ( 　　 ) A. 共面 B. 不共面 C. 共线 D. 无法确定 答案 : A 1 2 3 4 5 答案 : A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5. 已知 a = i+k- 2 j , b=-i+ 2 k+ 3 j , c=- 3 i+ 7 j , 证明这三个向量共面 . 证明 : ∵ a=i+k- 2 j , b=-i+ 2 k+ 3 j , c=- 3 i+ 7 j , ∴ c=- 2 a+b , 故 a , b , c 这三个向量共面 .