2015-2016学年人教版选修1-2《1.1回归分析》第1课时课件.ppt

3.1 　 回归分析的基本思想 及其初步应用 （第一课时） 1 ．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用． 2 ．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方法． 3 ．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣． 本节课通过必修 3 熟悉有例题回顾线性相关关系知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引出随机误差、残差、残差分析的概念，进而运用残差来进行数据分析，通过例题讲解掌握用残差分析判断线性回归模型的拟合效果。掌握建立回归模型的步骤。 本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，练习进行巩固了解回归分析的基本思想方法和初步应用． 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 怎样根据一名女大学生的身高预报她的体重，并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 根据必修 3 2.3 变量相关关系解决这个问题的方法： 1. 先判断是两个变量是否具有线性相关关系 (1) 作散点图，如图所示 ( 见课本 P82 ：图 3.1-1) 2. 根据线性回归的系数公式，求回归直线方程 ＝ 0.849x-85.712 3. 由线性回归方程可以估计其位置值为 ＝ 60.316( 千克 ) 左右。 具有较好的线性相关关系 性质：回归直线一定过样本中心点 (2) 计算 相关系数 这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映 x 与 y 之间的关系， y 的值不能完全由 x 确定，它们之间是统计相关关系， y 的实际值与估计值之间存在着误差． 因此 , 在统计学中设它们的线性回归模型为 : 其中 a,b 为模型的未知参数 ,e 为 y 与 bx+a 之间的误差，称它为随机误差，它是随机变量。且 线性回归模型完整表达式为 x 称为 _____ 变量 ,y 称为 _____ 变量 . 解释 预报 线性回归模型中随机误差的主要来源 ①线性回归模型中的预报值 与真实情况 y 引起的误差； ②观测与计算 ( 用 代替 b a) 产生的误差； ③省略了一些因素的影响 ( 如生活习惯等）产生的误差 . 在线性回归模型中， e 为用 bx+a 的预报真实值 y 的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？ 在实际应用中，我们用 估计 bx+a 所以 的估计量为 对于样本点 它们的随机误差为 估计值为 称相应于点 的残差 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。 错误数据 模型问题 身高与体重残差图 异常点 残差的作用 1. 通过残差表或残差图发现原始数据中的可疑数据 通过残差 来判断模型拟合的效果这种分析工作称为 残差分析 通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断，如何精确判断模型拟合的效果？ 引入参数 R 2 来精确该画模型拟合效果 对于己获取的样本数据，在上式子中 是定值， 越小，即残差平方和越小， R 2 越大，说明模型拟合效果越好。 引入例中参数 R 2 计算得约为 0.64 说明女大学生体重差异有百分之六十四是由身高引起的 . 知识点 线性回归分析 1. 对线性回归模型的三点说明 (1) 非确定性关系：线性回归模型 y= bx+a+e 与确定性函数 y= bx+a 相比，它表示 y 与 x 之间是统计相关关系 ( 非确定性关系 ), 其中的随机误差 e 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值 a ， b 的工具 . (2) 线性回归方程 中 ， 的意义是：以 为基数， x 每增加 1 个单位， y 相应地平均增加 个单位 . (3) 线性回归模型中随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差； ②观测与计算产生的误差； ③省略了一些因素的影响产生的误差 . 2. 线性回归模型的模拟效果 (1) 残差图法 : 观察残差图 , 如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中 , 说明选用的模型比较合适 , 这样的带状区域的宽度越窄 , 说明模型拟合精度越高 , 回归方程的预报精度越高 . (2) 残差的平方和法 : 一般情况下 , 比较两个模型的残差比较困难 ( 某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小 , 而另一些样本点的情况则相反 ), 故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果 . 残差平方和越小的模型 , 拟合的效果越好 . (3)R 2 法 :R 2 的值越大 , 说明残差平方和越小 , 也就是说模型拟合的效果越好 . 3. 相关系数与 R 2 (1)R 2 是相关系数的平方 , 其变化范围为 [0,1], 而相关系数的变化范围为 [-1,1]. (2) 相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或负相关 , 而 R 2 反映了回归模型拟合数据的效果 . (3) 当 |r| 接近于 1 时说明两变量的相关性较强 , 当 |r| 接近于 0 时说明两变量的相关性较弱 , 而当 R 2 接近于 1 时 , 说明线性回归方程的拟合效果较好 . 【 微思考 】 (1) 残差与我们平时说的误差是一回事儿吗 ? 提示 : 这两个概念在某程度上具有很大的相似性 , 都是衡量不确定性的指标 , 二者的区别是 : 误差与测量有关 , 误差可以衡量测量的准确性 , 误差越大表示测量越不准确 ; 残差与预测有关 , 残差大小可以衡量预测的准确性 , 残差越大表示预测越不准确 . (2)R 2 与原来学过的相关系数 r 有区别吗 ? 提示 : 它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的 , 区别是 R 2 表示解释变量对预报变量变化的贡献率 , 其表达式为 R 2 =1- ; 相关系数 r 是检验两个变量相关性的强弱程度 , 其表达式为 建立回归模型的基本步骤 (1) 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量． (2) 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 ( 如是否存在线性关系等 ) ． (3) 由经验确定回归方程的类型 ( 如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程 ) ． (4) 按一定规则 ( 如最小二乘法 ) 估计回归方程中的参数． (5) 得出结果后分析残差图是否有异常 ( 如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等 ) ．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 为研究重量 x ( 单位：克 ) 对弹簧长度 y ( 单位：厘米 ) 的影响，对不同重量的 6 个物体进行测量，数据如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1) 作出散点图并求线性回归方程； (2) 求出 R 2 ； (3) 进行残差分析． 作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明： (1) 散点图； (2) 相关指数； (3) 残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄 ． 解答 (1) 散点图如图 0.05 0.005 － 0.08 － 0.045 0.04 0.025 － 2.24 － 1.37 － 0.54 0.41 1.41 2.31 (3) 由残差表中的数值可以看出第 3 个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过 0.15 的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系． 规律方法　 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残差分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面． 1. 判一判 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 残差平方和越小 , 线性回归方程拟合效果越好 .( 　　 ) (2) 在画两个变量的散点图时 , 预报变量在 x 轴上 , 解释变量在 y 轴上 . 　 ( 　　 ) (3)R 2 越接近于 1, 线性回归方程的拟合效果越好 .( 　　 ) √ × √ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 从散点图上看 , 点散布在从左下角到右上角的区域内 , 两个变量的这种相关关系为 　 　　　 　 . (2) 在残差分析中 , 残差图的纵坐标为 　　　　　 . (3) 如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上 , 则残差平方和等于 　　　 , 解释变量和预报变量之间的相关系数 R 等于 　　　　　 . 正相关 残差 0 1 或 -1 3. 已知某种商品的价格 x ( 元 ) 与需求量 y ( 件 ) 之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求 y 对 x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． 0 0.3 － 0.4 － 0.1 0.2 4.6 2.6 － 0.4 － 2.4 － 4.4 再 见 敬请指导 .