选修4-4.圆锥曲线的参数方程3.ppt

第二讲 参数方程 1. 椭圆的参数方程 二 . 圆锥曲线的参数方程 如下图，以原点 O 为圆心，分别以 a ， b （ a ＞ b ＞ 0 ）为半径作两个同心圆，设 A 为大圆上的任意一点，连接 OA, 与小圆交于点 B ，过点 A 作 AN⊥ox ，垂足为 N ，过点 B 作 BM⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 轨迹的参数方程 . O A M x y N B 分析：设 M 点的坐标为（ x,y) 点 A 的横坐标与 M 点的横坐标相同 , 点 B 的纵坐标与 M 点的纵坐标相同 . 而 A 、 B 的坐标可以通过 引进参数建立联系 . O A M x y N B 解： 设∠ XOA=φ, 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ), 由此 : 即为 点M轨迹的 参数方程 . 消去参数得 : 即为 点M轨迹的 普通 方程 . 如下图，以原点 O 为圆心，分别以 a ， b （ a ＞ b ＞ 0 ）为半径作两个同心圆，设 A 为大圆上的任意一点，连接 OA, 与小圆交于点 B ，过点 A 作 AN⊥ox ，垂足为 N ，过点 B 作 BM⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程 . 1 . 参数方程 是椭圆 的参数方程 . 2 . 在椭圆的参数方程中，常数 a 、 b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长 . a>b 另外 称为 离心角 , 规定参数 的取值范围是 φ O A M x y N B 归纳比较 椭圆的标准方程 : 椭圆的参数方程中参数 φ 的几何意义 : x y O 圆的标准方程 : 圆的参数方程 : x 2 +y 2 =r 2 θ 的几何意义是 ∠AOP= θ ，是旋转角 P A θ 椭圆的参数方程 : 是∠ AOX= φ , 不是 ∠ MOX= φ. 称离心角 【 练习 1】 把下列普通方程化为参数方程 . (1) (2) (3) (4) 把下列参数方程化为普通方程 练习 2 ： 已知椭圆的参数方程为 ( 是参数 ) ，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。 4 2 ( , 0) 例 1 、 如图，在椭圆 x 2 ／ 9 +y 2 ／ 4 =1 上求一点 M ，使 M 到直线 l ： x+2y-10=0 的距离最小 . x y O P 分析 1 平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求 . 小结： 借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。 例 1 、 如图，在椭圆 x 2 ／ 9 +y 2 ／ 4 =1 上求一点 M ，使 M 到直线 l ： x+2y-10=0 的距离最小 . 分析 2 例 2. 已知椭圆 , 求椭圆内接矩形面积的最大值 . 解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为 所以椭圆内接矩形面积的最大值为 2ab. 例 3: 已知 A,B 两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点 , 在第一象限的椭圆弧上求一点 P, 使四边形 OAPB 的面积最大 . 练习 1 、动点 P(x,y) 在曲线 上变化 ，求 2x+3y 的最大值和最小值 2 、 θ 取一切实数时，连接 A(4sinθ,6cosθ) 和 B(-4cosθ, 6sinθ) 两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 B 设中点 M (x, y) x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ 它的焦距是多少？ B 练习 小结 （ 1 ）椭圆的参数方程（ a>b>0 ） 注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。 （ 2 ）椭圆与直线相交问题 第二讲 参数方程 2. 双曲线的参数方程 二 . 圆锥曲线的参数方程 • a o x y ) M B A 双曲线的参数方程 探究：双曲线 的参数方程 b • • a o x y ) M B A 双曲线的参数方程 b 消去参数得： ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 与三角 恒等式 相比较而得到，所以双曲 线的参数方程的实质是三角代换 . 说明：⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线 OM 的倾斜角不同 . • a o x y ) M B A b 双曲线的参数方程 双曲线的参数方程： 例 2 、 O B M A x y 解： O B M A x y 解： 化下列参数方程为普通方程，并说明它们 表示什么曲线 ? 由此你有什么想法？ 探究 第二讲 参数方程 3. 抛物线的参数方程 二 . 圆锥曲线的参数方程 x y o M(x,y) 抛物线的参数方程 x y o M(x,y) 抛物线的参数方程 总结 总结 x y o B A M • • c 练习 练习