第1节 平面直角坐标系及函数.doc

第 三 章 函 数 第 1 节 平面直角坐标系及函数 考 点 精 讲 考点特训营 平面直角坐标系及函数 各象限内点的坐标特征 坐标轴上点的坐标特征 各象限角平分线上点的坐标特征 对称点的坐标特征 点坐标的平移 坐标系中距离的有关计算 函数自变量的取值范围 各象限内点的坐标特征 返回 温馨提示：坐标轴不属于 任何象限 －，＋ －， － 坐标轴上点的坐标特征 x 轴上的点为（ x ,0 ） 返回 当点在 x 轴正半轴上时， x >0 当点在 x 轴负半轴上时， x ③ 0 当点在 y 轴正半轴上时， y >0 当点在 y 轴负半轴上时， y ④ 0 y 轴上的点为（ 0 ， y ） 原点的坐标为⑤ . （ 0,0 ） < < 各象限角平分线 上点的坐标特征 返回 点 P ( x , y ) 在第一、三象限角平分线上 x = y 点 P ( x , y ) 在第二、四象限角平分线上 ⑥ _____ x ＝－ y P ( a , b ) P ′( a ,- b ) P ( a , b ) P ′⑦ ________ P ( a , b ) P ′⑧ __________ 对称点的坐标特征 返回 口诀 : x 轴或 y 轴，关于谁对称谁不变 , 另一个变号 , 关于原点对称都变号 ( － a ， b ) ( － a ，－ b ) 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 返回 点的坐标平移 P ( x , y ) P 1 ( x , y + a ) P ( x , y ) P 2 ( x , y - b ) P ( x , y ) P 3 ( x - c , y ) P ( x , y ) P 4 ( x + d , y ) 简记为： 向上平移 a 个单位 向下平移 b 个单位 向左平移 c 个单位 向右平移 d 个单位 坐标系中距离的有关计算 P （ a ， b ）到 x 轴的距离为｜ b ｜ 点 P （ a ， b ）到 y 轴的距离为⑨ ________ 点 P （ a ， b ）到原点的距离为 ⑩ ________ 平行于 x 轴的直线 l 上的两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）间的距离是｜ x 1 - x 2 ｜ ( 即纵坐标相等 ) 平行于 y 轴的直线 l 上的两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）间的距离是｜ y 1 - y 2 ｜（即横坐标相等） 坐标平面内任意两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）间的距离 P 1 P 2 ＝ 返回 温馨提示：求点之间的距离，或线段长，应数形结合，熟练将垂线，垂线段长与点的横纵坐标有机结合起来 | a | 函数自变量的取值范围 返回 函数表达式的形式 自变量的取值范围 分式型 使分母不为零的实数 二次根式型 使被开方数大于等于零的实数 含零次幂、负整数指数幂型 底数不为 0 的实数 以上两种或两种以上形式 分别求出它们的取值范围，再求它们的公共部分 重难点突破 例 小兵早上从家匀速步行去学校，走到途中发现数学书忘在家里了，随即打电话给爸爸，爸爸立即送书去，小兵掉头以原速往回走，几分钟后，路过一家书店，此时还未遇到爸爸，小兵便在书店挑了几支笔，刚付完款，爸爸正好赶到，将书交给了小兵，然后，小兵以原速继续上学，爸 实际问题中分析函数图象 爸也以原速返回家，爸爸到家后，过一会小兵才到达学校，两人之间的距离 y ( 米 ) 与小兵从家出发的时间 x ( 分钟 ) 的函数关系如图所示，则家与学校相距 ________ 米． 1740 时间段 ( 分钟 ) 表示意义 0 ～ 20 小兵行走路程 20 ～ 25 小兵与爸爸相向行走 25 ～ 30 小兵爸爸行走，小兵在书店，由 ＝速度 ，求小兵爸爸速度 30 ～ 40 小兵与爸爸反向行走，由 ＝两人速度之和，求小兵速度 40 ～ 44 小兵爸爸已到家中，小兵继续行走至学校 【 题图分析 】 根据路程＝速度 × 时间，求出家与学校的距离 【 解析 】 观察图象可知小兵爸爸的速度为 ＝ 90 米 / 分，设小兵的速度为 x 米 / 分，由图象可知 10×(90 ＋ x ) ＝ 1500 ，解得 x ＝ 60 米 / 分， 60×4 ＝ 240 ， 1500 ＋ 240 ＝ 1740 米，∴小兵家距学校 1740 米． 练习 1 货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地．已知甲、乙两地相距 180 千米，货车的速度为 60 千米 / 小时，小汽车的速度为 90 千米 / 小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离 y ( 千米 ) 与各自行驶时间 t ( 小时 ) 之间的函数图象是 ( ) C 练习 2 (2017 辽阳 ) 甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，匀速前往 B 地、 A 地，两人相遇时停留了 4 min ，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离 y (m ) 与甲所用时间 x (min ) 之间的函数关系如图所示，有下列说法： ① A 、 B 之间的距离为 1200 m ； ②乙行走的速度是甲的 1.5 倍； ③ b ＝ 960 ； ④ a ＝ 34. 以上结论正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ D 【 解析 】①∵ 当 x ＝ 0 时， y ＝ 1200 ，∴ A 、 B 之间的距离为 1200 m ，结论①正确；②乙的速度为 1200÷(24 － 4) ＝ 60(m/min) ，甲的速度为 1200÷12 － 60 ＝ 40(m/min) ， 60÷40 ＝ 1.5 ，∴乙行走的速度是甲的 1.5 倍，结论②正确；③ b ＝ (60 ＋ 40)×(24 － 4 － 12) ＝ 800 ，结论③错误；④ a ＝ 1200÷40 ＋ 4 ＝ 34 ，结论④正确． 练习 3 早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路 ( 直路 ) 上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家， 15 分钟妈妈到家，再经过 3 分钟小刚到达学校，小刚始终以 100 米 / 分钟的速度步行，小刚和妈妈的距离 y ( 单位：米 ) 与小刚打完电话后的步行时间 t ( 单位：分 ) 之间的函数关系如图，下列四种说法： ①打电话时，小刚和妈妈的距离为 1250 米；②打完电话后，经过 23 分钟小刚到达学校；③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为 150 米 / 分；④小刚家与学校的距离为 2550 米．其中正确的个数是 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 练习 4 如图①所示，在 A ， B 两地之间有汽车站 C 站，客车由 A 地驶往 C 站，货车由 B 地驶往 A 地，两车同时出发，匀速行驶，图②是客车、货车离 C 站的路程 y 1 ， y 2 ( 千米 ) 与行驶时间 x ( 小时 ) 之间的函数关系图象，则客、货两车相遇的时间是 ________ 小时． 练习 5 甲乙两地相距 300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段 OA 表示货车离甲地距离 y ( 千米 ) 与货车行驶时间 x ( 小时 ) 之间的函数关系；折线 BCD 表示轿车离甲地距离 y ( 千米 ) 与行驶时间 x ( 小时 ) 之间的函数关系，当轿车到达乙地后，马上沿原路以 CD 段的速度返回， 则货车从甲地出发 ________ 小时后再与轿车相遇． ( 结果精确到 0.01) 4.68 【 解析 】 设货车从甲地出发后 x 小时后再与轿车相遇．∵ V 货车 ＝ 60 千米 / 时， CD 段 V 轿车 ＝ ＝ 110( 千米 / 时 ) ，∴ 110( x － 4.5) ＋ 60 x ＝ 300 ，解得 x ≈4.68( 小时 ) ． 练习 6 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少 5 km ，下坡的速度比在平路上的速度每小时多 5 km ，设小明出发 x h 后，到达离甲地 y km 的地方，图中的折线 OABCDE 表示 y 与 x 之间的函数关系图象．如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15 h ，则该地点离甲地 _______ 千米． 5.5 【 解析 】 小明骑车在平路上的速度为 4.5÷0.3 ＝ 15 km/h ，∴小明骑车在上坡路的速度为 15 － 5 ＝ 10 km/h ，小明骑车在下坡路的速度为 15 ＋ 5 ＝ 20 km/h ，∴小明在 AB 段上坡时间为 (6.5 － 4.5)÷10 ＝ 0.2 h ， BC 段下坡的时间为 (6.5 － 4.5)÷20 ＝ 0.1 h ， DE 段平路的时间和 OA 段平路的时间相等为 0.3 h ，∴小明途中休息的时间为 1 － 0.3 － 0.2 － 0.1 － 0.3 ＝ 0.1 h ，小明骑车到达乙地的时间为 0.5 小时，∴ B (0.5 ， 6.5) ， C (0.6 ， 4.5) ； 易求出 AB 的解析式为 y ＝ 10 x ＋ 1.5(0.3≤ x ≤0.5) ， BC 的解析式为 y ＝－ 20 x ＋ 16.5(0.5< x ≤0.6) ；小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15 h ，由题意可以得出这个地点只能在坡路上．设小明第一次经过该地点的时间为 t ，则第二次经过该地点的时间为 ( t ＋ 0.15)h ，由题意，得 10 t ＋ 1.5 ＝－ 20( t ＋ 0.15) ＋ 16.5 ，解得： t ＝ 0.4 ，∴ y ＝ 10×0.4 ＋ 1.5 ＝ 5.5 ，∴该地点离甲地 5.5 km.