2017年北师大九年级上1.3正方形的性质与判定(2)课件ppt.ppt

北师大版九年级 ( 上 ) 第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 (2) 问题情景 根据正方形的定义，有一组邻边相等，并且有一个 角是直角的平行四边形叫做正方形。除此之外，你认为 还有什么条件可以判断一个四边形是正方形？ A B C D 一组邻边相等 一个角是直角 A B C D 新知探究 Ⅰ 、如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角， 打开。怎样剪才能剪出一个正方形？？ 合作交流 ⅰ 、满足什么条件的矩形是正方形？ (1) 一组邻边相等 一组邻边相等 (2) 对角线互相垂直 对角线互相垂直 新知探究 Ⅱ 、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。 已知：如图，矩形 ABCD 中， AC ⊥ BD 。 求证：四边形 ABCD 是正方形。 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴四边形 ABCD 是平行四边形，∠ DAB=90° 且 AC⊥BD ∴ AB=AD D A B C O 且 OB=OD ∴四边形 ABCD 是正方形 新知归纳 正方形的判定 ： (1) 对角线互相垂直的矩形是正方形； 合作交流 ⅱ 、满足什么条件的菱形是正方形？ (1) 有一个角是直角 有一个角是直角 (2) 对角线相等 对角线互相垂直 新知探究 Ⅲ 、求证：有一个角是直角的菱形是正方形。 已知：如图，菱形 ABCD 中， ∠ A =90° 。 求证：四边形 ABCD 是正方形。 证明： ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴四边形 ABCD 是平行四边形， AD=AB 且∠ A=90° ∴四边形 ABCD 是正方形 D A B C 新知探究 Ⅳ 、求证：对角线相等的菱形是正方形。 D A B C O 已知：如图，菱形 ABCD 中， AC=BD 。 求证：四边形 ABCD 是正方形。 证明： ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴四边形 ABCD 是平行四边形， AB=AD 且 AC=BD ∴∠ DAB=90° ∴四边形 ABCD 是矩形 ∴四边形 ABCD 是正方形 新知归纳 正方形的判定 ： (1) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (2) 有一个角是直角的菱形是正方形； (3) 对角线相等的菱形是正方形。 合作交流 ⅲ 、我们知道：依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形。 那么依次连接正方形各边的中点能得到一个怎样的图形呢？ 先猜一猜，再证明。 合作交流 ⅳ 、依次连接菱形、矩形、平行四边形各边中点，分别能得到一个什么图形？ 菱形 矩形 平行四边形 矩形 菱形 平行四边形 例 1 、已知：如图，在矩形 ABCD 中， BE 平分∠ ABC ， CE 平分∠ DCB ， BF∥CE ， CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形 . 范例讲解 证明： ∵ BF∥CE ， CF∥BE ∴四边形 BECF 是平行四边形 ∴ ∠ ABC=90°,∠DCB=90° D A B C E F ∵四边形 ABCD 是矩形 又∵ BE 平分∠ ABC ， CE 平分∠ DCB ∴ ∠ EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45° ∴ ∠ EBC=∠ECB ∴ EB=EC ∴四边形 BECF 是菱形 在△ EBC 中 ∵ ∠ EBC=45°,∠ECB=45° ∴ ∠ BEC=90° ∴四边形 BECF 是正方形 巩固练习 1 、已知：如图， E 、 F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的 两点，且 BE=DF. 求证：四边形那个 AECF 是菱形 . D A B C F E 巩固练习 2 、如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别在它的 四条边上，且 AE=BF=CG=DH ，四边形 EFGH 是什么特 殊四边形？你是如何判断的？ D A B C E F G H 巩固练习 3 、如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，正方形 A`B`C`O 与正方形 ABCD 的边长相等，在正方形 A`B`C`O 绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的 面积与正方形 ABCD 的面积有什么关系？证明你的结论 . D A B C O A` B` C` 课堂小结 正方形的判定 ： (1) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (2) 有一个角是直角的菱形是正方形； (3) 对角线相等的菱形是正方形。