7.5三角形内角和定理教案.doc

课题：三角形内角和定理 l 教学目标：‎ 知识与技能目标：‎ ‎1．会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180o；‎ ‎2．能用三角形内角和等于180o进行角度计算和简单推理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解决问题中的应用．‎ 过程与方法目标：‎ ‎1．通过拼图实验、合作交流、推理论证的过程，体现“做中学”，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力，初步获得科学研究的体验；‎ ‎2．掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力..‎ 情感态度与价值观目标：‎ ‎1．通过操作、交流、探究、表述、推理等活动，培养学生的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学生大胆提出疑问，培养学生良好的学习习惯. ‎ l 重点：‎ 三角形内角和定理的证明及其简单的应用；‎ 难点：‎ 在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线.‎ l 教学流程：‎ 一、 情境引入 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？” 老二很纳闷. ‎ ‎ 同学们，你们知道其中的道理吗？‎ 目的：通过对话激发学生的求知欲；让学生通过小组讨论：其中的道理．‎ 二、 自主探究 探究1：‎ 以前你用什么办法验证三角形内角和是180º 把三个角拼在一起试试看？‎ ‎ ‎ 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?‎ 目的：让学生通过小组讨论：有什么办法得到这个结论。学生会提出度量、或拼图的方法，引导学生做小学做过的剪纸实验，并带领学生一起撕下三角形的任意两个角，拼在第三个角的顶点处。观察拼图结果，发现三个角拼在一起刚好是一个平角，总结出拼图方法，为下一环节说理证明作好准备，通过学生动手操作，把抽象知识形象化、具体化，把学生直接带入新课的学习，并让学生知道数学知识来源于实践，让他们感受到学习的乐趣，增加他们学习数学的信心.‎ 已知:如图∠A，∠B，∠C是 △ABC的内角.‎ 求证:∠A+∠B+∠C=1800.‎ 分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置，把 ‎∠B移到了∠2的位置.‎ 证明:作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等), ‎ ‎∠2= ∠B(两直线平行，同位角相等).‎ 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ‎ ‎∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).‎ 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线 PQ∥BC(如图)，他的想法可以吗?‎ 请你帮小明把想法化为实际行动.‎ 证明:过点A作PQ∥BC，则 ‎∠1=∠B(两直线平行，内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等),‎ 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ‎ ‎∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).‎ 例题讲解：‎ 例1． 如图，在△ABC中， ∠B＝38°， ∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，‎ 求∠ADB的度数 解在△ABC中， ‎ ‎∠B+∠C +∠BAC=180°(三角形内角和定理)，‎ ‎ ∵ ∠B=38°， ∠C=62°（已知）， ‎ ‎∴ ∠BAC=180°- 38 °- 62°=80°（等式的性质）‎ ‎∵AD平分∠BAC（已知），‎ ‎∴ ∠BAD=∠CAD =1/2 ∠BAC =40°(角平分线的定义)在△ADB中， ‎ ‎∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理)，‎ ‎∵ ∠B=38°（已知）， ∠BAD=40°（已证），‎ ‎∴∠ADB=180 °- 38°- 40°=102°（等式的性质）‎ 做一做：‎ ‎1、在△ABC中,∠A=35°，∠ B=43°， 则∠ C= . ‎ ‎2、在△ABC中,∠C=90°，∠B=50°，则∠A = .‎ ‎3、在△ABC中, ∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C = .‎ 解：1、1020 2、400 3、1200‎ ‎4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，求∠AEB的度数．‎ 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴∠A+∠B=90°，‎ ‎∵∠A、∠B的平分线相交于点E，‎ ‎∴∠EAB+∠EBA= （∠A+∠B）= ×90°=45°，‎ ‎∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，‎ ‎∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣45°=135° ‎ 三、合作探究 探究2：‎ 观察与思考：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.‎ 想一想：外角与相邻内角有什么特殊关系？‎ ‎∠4+∠3=180°‎ 想一想 ‎ ‎1、每一个三角形有几个外角？ ‎ ‎2、每一个顶点处相对应的外角有几个？ ‎ ‎3、这些外角中有几个外角相等？ ‎ 解：1、一个三角形共有6个外角.‎ ‎2、三角形每个顶点处各有两个外角(互为对顶角).‎ ‎3、这些外角中有3对外角相等 ‎ 证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.‎ 求证： ∠1= ∠2+ ∠3‎ 证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°（三角形内角和定理） ‎ ‎∴∠2+ ∠3= 180°-∠4‎ 又∵ ∠1+ ∠4= 180°‎ ‎∴∠1 = 180°-∠4‎ ‎∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换)‎ 证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ‎ 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.‎ 求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3‎ 证明:∵ ∠1 =∠2+ ∠3‎ ‎ （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和） ‎ ‎ ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3‎ 像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论. ‎ 三角形内角和定理的推论 推论可以当作定理使用. ‎ 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.‎ 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.‎ 做一做：‎ ‎1．已知：如图，在△ABC中，外角∠DCA=100°, ∠A=45°。‎ 求：∠B和∠ACB的大小.‎ 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),‎ ‎∴ ∠B= ∠DCA-∠A=100°-45°=55°‎ ‎(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).‎ 又∵ ∠DCA+∠BCA=180° ‎ ‎∴ ∠ACB=80°(等式的性质).‎ 例题讲解：‎ 例2：已知：如右图,在△ABC中， ∠B= ∠C ， AD平分外角∠EAC. ‎ 求证：AD∥BC.‎ 分析：要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”, “内错角相等”或“同旁内角互补”.‎ 证明:由证法1可得:∠DAC=∠C (已证)‎ ‎∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理)‎ ‎∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换)‎ ‎∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)‎ 这里是运用了定理“同旁内角互补，两直线平行”得到了证实.‎ 例3：已知：如图， P是△ABC内一点，连接PB，PC. ‎ 求证：∠BPC＞∠ A 证明：如图，延长BP，交AC于点D.‎ ‎∵ ∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ‎ ‎∴ ∠BPC＞∠ PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.‎ ‎∵ ∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ‎ ‎∴ ∠PDC＞∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.‎ ‎∴∠BPC＞∠ A．‎ 四、小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？ ‎ ‎1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800 ‎ ‎2、推论1：‎ 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.‎ 推论2：‎ 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.‎ 五、达标测评 ‎1．△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则∠C的度数是（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ 解：C ‎2．如图所示，AD、BC相交于O点，若∠A=35°，∠B=56°，∠D=46°，则∠C的度数是（　　）‎ A．31° B．45° C．41° D．55° ‎ 解：B ‎3．如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有（　）个．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解：B ‎4．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于（ ）． ‎ 解：40°‎ ‎5．如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，‎ EF∥CD交AB于F，‎ 求∠DEF的度数 解：∵△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，‎ ‎∴∠ACB=50°，‎ ‎∵CD是∠ACB的平分线， ‎ ‎∴∠DCB=25°，‎ ‎∵EF∥CD， ‎ ‎∴∠FEB=25°，‎ ‎∵DE⊥BC，‎ ‎∴∠DEF的度数为：90°﹣25°=65°．‎ 六、拓展延伸 ‎1．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC=32°，∠AEB=70°．‎ 若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，‎ 求∠BEF的度数．‎ ‎ ‎ 解：分两种情况：‎ ‎①当∠EFC=90°时，如图1所示：‎ 则∠BFE=90°，‎ ‎∴∠BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58°；‎ ‎②当∠FEC=90°时，如图2所示：‎ 则∠EFC=90°﹣38°=52°，‎ ‎∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20°；‎ 综上所述：∠BEF的度数为58°或20°．‎ 七、布置作业 教材183题第1，2题.‎