2018人教B版数学选修4-5课件1.5.3　反证法和放缩法.ppt

1 . 理解反证法在证明不等式中的应用 , 掌握用反证法证明不等式的方法 . 2 . 掌握放缩法证明不等式的原理 , 并会用其证明不等式 . 1 . 反证法 假设要证明的命题是 不正确 的 , 然后利用公理 , 已有的定义、定理 , 命题的条件逐步分析 , 得到和命题的条件 ( 或已证明过的定理 , 或明显成立的事实 ) 矛盾 的结论 , 从而得出原来结论是 正确 的 , 这种方法称作 反证法 . 名师点拨 用反证法证明不等式必须把握以下几点 : (1) 必须否定结论 , 即肯定结论的反面 , 当结论的反面呈现多样性时 , 必须罗列出各种情况 , 缺少任何一种可能 , 反证法都是不完全的 . (2) 反证法必须从否定结论进行推理 , 即应把结论的反面作为条件 , 且必须根据这一条件进行推证 . 否则 , 仅否定结论 , 不从结论的反面出发进行推理 , 就不是反证法 . (3) 推导出的矛盾可能多种多样 , 有的与已知矛盾 , 有的与假设矛盾 , 有的与已知事实相违背 , 推导出的矛盾必须是明显的 . 【做一做 1 - 1 】 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 ( 　　 ) ① 结论相反的判断 , 即假设 ; ② 原命题的条件 ; ③ 公理、定理、定义等 ; ④ 原结论 . A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ②③ 答案 : C 【做一做 1 - 2 】 实数 a , b , c 不全为 0 的等价条件为 ( 　　 ) A. a , b , c 均不为 0 B. a , b , c 中至多有一个为 0 C. a , b , c 中至少有一个为 0 D. a , b , c 中至少有一个不为 0 答案 : D 2 . 放缩法 在证明不等式时 , 有时需要将所需证明的不等式的值 适当放大 ( 或缩小 ) , 使它由繁化简 , 达到证明目的 , 这种方法称为放缩法 . 其关键在于 放大 ( 缩小 ) 要适当 . 名师点拨 用放缩法证明不等式时 , 常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性 . 缩小分母、扩大分子 , 分式的值增大 ; 缩小分子、扩大分母 , 分式的值减小 ; 每一次缩小其和变小 , 但需大于所求 ; 每一次扩大其和变大 , 但需小于所求 , 即不能放缩不够或放缩过头 , 同时放缩有时需便于求和 . A. M= 1 B. M< 1 C. M> 1 D. M 与 1 的大小关系不确定 解析 : 分母全换成 2 10 , 共有 2 10 个单项 . 答案 : B 【做一做 2 - 2 】 lg 9·lg 11 与 1 的大小关系是 　　　　 .  答案 : lg 9·lg 11 < 1 1 . 反证法中的数学语言是什么 ? 剖析 : 反证法适宜证明 “ 存在性问题 , 唯一性问题 ”, 带有 “ 至少有一个 ” 或 “ 至多有一个 ” 等字样的问题 , 或者说 “ 正难则反 ”, 直接证明有困难时 , 常采用反证法 . 下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设 : 对某些数学语言的否定假设要准确 , 以免造成原则性的错误 , 有时在使用反证法时 , 对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾 , 尤其在一些选择题中 , 更是如此 . 2 . 放缩法的尺度把握等问题有哪些 ? 剖析 :(1) 放缩法的主要理论依据 . ① 不等式的传递性 ; ② 等量加不等量为不等量 ; ③ 同分子 ( 分母 ) 异分母 ( 分子 ) 的两个分式大小的比较 ; ④ 基本不等式与绝对值不等式的基本性质 ; ⑤ 三角函数的有界性等 . (2) 放缩法使用的主要方法 : 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一 , 放缩必须有目标 , 而且要恰到好处 , 目标往往要从证明的结论考查 . 常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等 . 比如 , 题型一 题型二 题型三 题型四 用反证法证明否定性结论命题 分析 : “ 不能同时 ” 包含情况较多 , 而其否定 “ 同时大于 ” 仅有一种情况 , 因此适宜用反证法证明 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 (1) 当证明的结论中含有 “ 不是 ”“ 不都 ”“ 不存在 ” 等词语时 , 适于应用反证法 , 因为此类问题的反面比较具体 . (2) 用反证法证明不等式时 , 推出的矛盾有三种表现形式 : ① 与已知矛盾 ; ② 与假设矛盾 ; ③ 与显然成立的事实相矛盾 . 题型一 题型二 题型四 题型三 用反证法证明 “ 至多 ”“ 至少 ” 类问题 分析 : 问题从正面证明不易入手 , 适合应用反证法证明 . 题型一 题型二 题型四 题型三 ∴ 假设不成立 , 则 |f (1) |+ 2 |f (2) |+|f (3) |< 2 . 而 |f (1) |+ 2 |f (2) |+|f (3) | ≥ |f (1) +f (3) - 2 f (2) | ≥ f (1) +f (3) - 2 f (2) = (1 +b+c ) + (9 + 3 b+c ) - 2(4 + 2 b+c ) = 2 . 两式显然矛盾 , ∴ 假设不成立 . 题型一 题型二 题型四 题型三 反思 (1) 在所要证明的问题中含有 “ 至多 ”“ 至少 ” 等字眼时 , 常使用反证法证明 . (2) 在用反证法证明的过程中 , 由于作出了与结论相反的假设 , 相当于增加了题设条件 , 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件 , 否则将无法推出矛盾 . 题型一 题型二 题型三 题型四 用放缩法证明不等式 分析 : 运用放缩法进行证明 . 证明 : (1) 由题设 , 得 a 2 +ab+b 2 =a+b , 于是 ( a+b ) 2 >a 2 +ab+b 2 =a+b , 故 a+b> 1 . 因为 ( a+b ) 2 > 4 ab , 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 用放缩法证明不等式的过程中 , 往往采用添项或减项的 “ 添舍 ” 放缩 , 拆项对比的分项放缩 , 函数的单调性放缩等 . 放缩时要注意适度 , 否则不能同向传递 . 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点 : 在证明不等式时 , 因不按不等式的性质变形 , 从而导致证明过程错误 . 1 2 3 4 5 1 用反证法证明 : 若整系数一元二次方程 ax 2 +bx+c= 0( a ≠0) 有有理根 , 则 a , b , c 中至少有一个偶数 . 下列假设中正确的是 ( 　　 ) A. 假设 a , b , c 都是偶数 B. 假设 a , b , c 都不是偶数 C. 假设 a , b , c 中至多有一个偶数 D. 假设 a , b , c 中至多有两个偶数 答案 : B 1 2 3 4 5 2 设 x , y ∈ (0, +∞ ), 且 xy- ( x+ 1) = 1, 则 ( 　　 ) 答案 : B 1 2 3 4 5 A. 都大于 2 B. 都小于 2 C. 至少有一个不大于 2 D. 至少有一个不小于 2 答案 : D 1 2 3 4 5 答案 : ≥ 1 2 3 4 5 5 若正数 a , b 满足 ab ≥ 1 +a+b , 则 a+b 的最小值为 　　　　　 .