3
.
1
数学归纳法原理
1
.
了解数学归纳法的原理
.
2
.
了解数学归纳法的应用范围
.
3
.
会用数学归纳法证明一些简单问题
.
1
.
归纳法
由有限多个个别的特殊事例得出
一般结论
的推理方法
,
通常称为归纳法
.
名师点拨
根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部
,
归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法
.
(1)
不完全归纳法是根据事物的部分
(
而不是全部
)
特例得到一般结论的推理方法
.
不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的
,
但它是一种重要的思考问题的方法
,
是研究数学问题的一把钥匙
,
是发现数学规律的一种重要手段
.
用不完全归纳法发现规律
,
用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径
.
(2)
完全归纳法是一种在研究了事物的所有
(
有限种
)
特殊情况后得出一般结论的推理方法
,
又叫枚举法
.
与不完全归纳法不同
,
用完全归纳法得出的结论是可靠的
.
通常在事物包括的特殊情况不多时
,
采用完全归纳法
.
【做一做
1
-
2
】
从
1
=
1,1
-
4
=-
(1
+
2),1
-
4
+
9
=
1
+
2
+
3,…,
猜想第
n
个式子为
.
2
.
数学归纳法
一般地
,
当要证明一个命题对于不小于某正数
n
0
的所有正整数
n
都成立时
,
可以用以下两个步骤
:
(1)
证明当
n=n
0
时命题成立
;
(2)
假设当
n=k
(
k
∈
N
,
且
k
≥
n
0
)
时命题成立
,
证明当
n=k+
1
时命题也成立
.
完成两个步骤后
,
就可以断定命题对于不小于
n
0
的所有正整数都成立
,
这种证明方法称为
数学归纳法
.
名师点拨
1
.
这两个步骤缺一不可
,
只完成步骤
(1)
而缺少步骤
(2),
就作出判断可能得出不正确的结论
.
因为单靠步骤
(1),
无法递推下去
,
即
n
取
n
0
以后的数时命题是否正确
,
我们无法判定
.
同样
,
只有步骤
(2)
而缺少步骤
(1),
也可能得出不正确的结论
.
缺少步骤
(1)
这个基础
,
假设就失去了成立的前提
,
步骤
(2)
也就没有意义了
.
2
.
用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步
,
即
n=k+
1
时为什么成立
?
n=k+
1
时成立是利用假设
n=k
时成立
,
根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出
n=k+
1
时命题成立
,
而不是直接代入
,
否则
n=k+
1
时也成假设了
,
命题并没有得到证明
.
3
.
用数学归纳法可证明有关的正整数问题
,
但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明
,
学习时要具体问题具体分析
.
【做一做
2
-
1
】
下列说法中不正确的是
(
)
A.
数学归纳法中的两个步骤相互依存
,
缺一不可
B.
数学归纳法证明的是与正整数有关的命题
C.
数学归纳法证明的第一步是递推的基础
,
第二步是递推的依据
D.
数学归纳法中第一步必须从
n=
1
开始
答案
:
D
故当
n=k+
1
时
,
不等式成立
.
上述的证明过程中
,
不正确的一步的序号为
.
解析
:
在
(2)
中
,
由
n=k
到
n=k+
1
的证明
,
没有用上归纳假设
,
故
(2)
错误
.
答案
:
(2)
1
.
为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢
?
剖析
:
这是因为第一步首先验证了
n
取第一个值
n
0
时命题成立
,
这样假设就有了存在的基础
.
假设当
n=k
时命题成立
,
根据假设和合理推证
,
证明出当
n=k+
1
时命题也成立
.
这实质上是证明了一种循环
.
如验证了当
n
0
=
1
时命题成立
,
又证明了当
n=k+
1
时命题也成立
,
这就一定有当
n=
2
时命题成立
,
当
n=
2
时命题成立
,
则当
n=
3
时命题也成立
;
当
n=
3
时命题成立
,
则当
n=
4
时命题也成立
.
如此反复
,
以至无穷
.
对所有
n
≥
n
0
的正整数命题就都成立了
.
数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题
,
这就是数学方法的神奇
.
2
.
什么时候可以运用数学归纳法证明
,
证明时
n
0
是否一定要为
1?
剖析
:
数学归纳法一般被用于证明某些涉及正整数
n
的命题
,
n
可取无限多值
,
但不能简单地说所有涉及正整数
n
的命题都可以用数学归纳法证明
,
例如用数学归纳法证
明
(
n
∈
N
*
)
的单调性就难以实现
,
一般说来
,
从
n=k
到
n=k+
1
时
,
若问题中存在可利用的递推关系
,
则使用数学归纳法就较简单
,
否则使用数学归纳法就有困难
.
在运用数学归纳法时
,
要注意起点
n
并非一定取
1,
也可能取
2
等值
,
要看清题目
,
比如证明凸
n
边形的内角和
f
(
n
)
=
(
n-
2)
×
180°,
这里面的
n
应不小于
3,
即
n
≥
3,
第一个值
n
0
=
3
.
题型一
题型二
题型三
题型四
用数学归纳法证明恒等式
【例
1
】
用数学归纳法证明
:
分析
:
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的关键是第二步
,
要注意当
n=k+
1
时等式两边的式子与
n=k
时等式两边的式子的联系
,
增加了哪些项
,
减少了哪些项
,
问题就会顺利解决
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型四
题型三
用数学归纳法证明整除性问题
【例
2
】
求证
:
a
n+
1
+
(
a+
1)
2
n-
1
能被
a
2
+a+
1
整除
,
n
∈
N
*
.
分析
:
对于多项式
A
,
B
,
若
A=BC
,
C
也是多项式
,
则
A
能被
B
整除
.
若
A
,
B
都能被
C
整除
,
则
A+B
,
A-B
也能被
C
整除
.
证明
:
(1)
当
n=
1
时
,
a
1
+
1
+
(
a+
1)
2
×
1
-
1
=a
2
+a+
1,
命题显然成立
.
(2)
假设当
n=k
(
k
∈
N
*
,
且
k
≥
1)
时
,
a
k+
1
+
(
a+
1)
2
k-
1
能被
a
2
+a+
1
整除
,
则当
n=k+
1
时
,
a
k+
2
+
(
a+
1)
2
k+
1
=a
·
a
k+
1
+
(
a+
1)
2
·(
a+
1)
2
k-
1
=a
[
a
k+
1
+
(
a+
1)
2
k-
1
]
+
(
a+
1)
2
(
a+
1)
2
k-
1
-a
(
a+
1)
2
k-
1
=a
[
a
k+
1
+
(
a+
1)
2
k-
1
]
+
(
a
2
+a+
1)(
a+
1)
2
k-
1
.
由归纳假设
,
得上式中的两项均能被
a
2
+a+
1
整除
,
故当
n=k+
1
时命题成立
.
根据
(1)(2)
可知
,
对一切
n
∈
N
*
,
命题成立
.
题型一
题型二
题型四
题型三
反思
证明整除性问题的关键是
“
凑项
”,
采用增项、减项、拆项、因式分解等手段
,
凑出当
n=k
时的情形
,
从而利用归纳假设使问题得证
.
题型一
题型二
题型三
题型四
用数学归纳法证明几何问题
【例
3
】
平面内有
n
个圆
,
任意两个圆都相交于两点
,
任意三个圆不相交于同一点
,
求证
:
这
n
个圆将平面分成
f
(
n
)
=n
2
-n+
2
个部分
(
n
∈
N
*
)
.
分析
:
因为
f
(
n
)
为
n
个圆把平面分割成的区域数
,
那么再有一个圆和这
n
个圆相交
,
就有
2
n
个交点
,
这些交点将增加的这个圆分成
2
n
段弧
,
且每一段弧又将原来的平面区域一分为二
,
所以增加一个圆后
,
平面分成的区域数增加
2
n
,
即
f
(
n+
1)
=f
(
n
)
+
2
n.
有了上述关系
,
数学归纳法的第二步证明可迎刃而解
.
题型一
题型二
题型三
题型四
证明
:
(1)
当
n=
1
时
,
一个圆将平面分成两个部分
,
且
f
(1)
=
1
-
1
+
2
=
2,
所以
n=
1
时命题成立
.
(2)
假设
当
n=k
(
k
∈
N
*
,
且
k
≥
1)
时命题成立
,
即
k
个圆把平面分成
f
(
k
)
=k
2
-k+
2
个部分
,
则当
n=k+
1
时
,
在
k+
1
个圆中任取一个圆
O
,
剩下的
k
个圆将平面分成
f
(
k
)
个部分
,
而圆
O
与
k
个圆有
2
k
个交点
,
这
2
k
个点将圆
O
分成
2
k
段弧
,
每段弧将原平面一分为二
,
故得
f
(
k+
1)
=f
(
k
)
+
2
k=k
2
-k+
2
+
2
k=
(
k+
1)
2
-
(
k+
1)
+
2
.
故当
n=k+
1
时
,
命题成立
.
根据
(1)(2)
可知
,
对一切
n
∈
N
*
,
命题成立
.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思
对于用数学归纳法证明几何问题
,
可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程
,
或者说体会出是怎样变化的
,
再去证明
.
也可以用
“
递推
”
的办法
,
比如本题
,
当
n=k+
1
时的结果已知道
:
f
(
k+
1)
=
(
k+
1)
2
-
(
k+
1)
+
2,
用
f
(
k+
1)
-f
(
k
)
就可得到增加的部分
,
然后从有限的情况来理解如何增加的
,
也就好理解了
.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析
易错点
:
在应用数学归纳法证明有关问题时
,
两步缺一不可
,
且最易出错的地方是在第二步证明中未用归纳假设
.
【例
4
】
已知在数列
{
a
n
}
中
,
a
1
=
3,
其前
n
项和
S
n
满足
S
n
=
6
-
2
a
n+
1
,
计算
a
2
,
a
3
,
a
4
,
然后猜想出
a
n
的表达式
,
并用数学归纳法证明你的结论
.
错解
:
当
n
≥
2
时
,
a
n
=S
n
-S
n-
1
=
6
-
2
a
n+
1
-
(6
-
2
a
n
)
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析
:
本题在证明时出现的主要错误是未用归纳假设
.
题型一
题型二
题型三
题型四
1 2 3 4 5
1
下列代数式中
,
n
∈
N
*
,
则可能被
13
整除的是
(
)
A.
n
3
+
5
n
B.3
4
n+
1
+
5
2
n+
1
C.6
2
n-
1
+
1 D.4
2
n+
1
+
3
n+
2
解析
:
当
n=
1
时
,
只有
D
项能被
13
整除
.
答案
:
D
1 2 3 4 5
2
若凸
n
边形有
f
(
n
)
条对角线
,
则凸
(
n+
1)
边形的对角线的条数
f
(
n+
1)
为
(
)
A.
f
(
n
)
+n+
1 B.
f
(
n
)
+n
C.
f
(
n
)
+n-
1 D.
f
(
n
)
+n-
2
解析
:
从凸
n
边形到凸
(
n+
1)
边形
,
对角线增加了
(
n-
1)
条
.
答案
:
C
1 2 3 4 5
3
下列四个判断中
,
正确的是
(
)
A.
式子
1
+k+k
2
+
…
+k
n
(
n
∈
N
*
),
当
n=
1
时为
1
B.
式子
1
+k+k
2
+
…
+k
n-
1
(
n
∈
N
*
),
当
n=
1
时为
1
+k
解析
:
对于选项
A,
当
n=
1
时
,
式子应为
1
+k
;
选项
B
中
,
当
n=
1
时
,
式子应为
1;
答案
:
C
1 2 3 4 5
4
已知在数列
{
a
n
}
中
,
a
1
=
1,
a
2
=
2,
a
n+
1
=
2
a
n
+a
n-
1
(
n
∈
N
*
),
用数学归纳法证明
a
4
n
能被
4
整除
,
假设
a
4
k
能被
4
整除
,
则下一步证明
.
答案
:
a
4
k+
4
能被
4
整除
1 2 3 4 5
5
某同学用数学归纳法证明等式
1
+
2
+
2
2
+
…
+
2
n-
1
=
2
n
-
1
的过程如下
:
(1)
当
n=
1
时
,
左边
=
1,
右边
=
1,
等式成立
;
(2)
假设当
n=k
(
k
∈
N
*
,
且
k
≥
1)
时
,
等式成立
,
即
1
+
2
+
2
2
+
…
+
2
k-
1
=
2
k
-
1;
即当
n=k+
1
时等式成立
.
根据
(1)(2)
可知
,
对任意正整数
n
等式成立
.
以上证明过程的错误是
.
答案
:
第
(2)
步未用归纳假设
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