1.3.1
且
(and)
1.3.2
或
(or)
学习目标
1.
了解联结词
“
且
”“
或
”
的含义
.
2
.
会用联结词
“
且
”“
或
”
联结或改写某些数学命题,并判断其命题的真假
.
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考
知识点一
“
且
”
观察三个命题:
①
5
是
10
的约数;
②
5
是
15
的约数;
③
5
是
10
的约数且是
15
的约数,它们之间有什么关系?从集合的角度如何理解
“
且
”
的含义
.
命题
③
是将命题
①
,
②
用
“
且
”
联结得到的新命题,
“
且
”
与集合运算中交集的定义
A
∩
B
=
{
x
|
x
∈
A
且
x
∈
B
}
中
“
且
”
的意义相同,表示
“
并且
”
,
“
同时
”
的意思
.
“
且
”
作为逻辑联结词,与生活用语中
“
既
…
,又
…”
相同,表示两者都要满足的意思,在日常生活中经常用
“
和
”“
与
”
代替
.
答案
梳理
(1)
定义:一般地,用联结词
“
且
”
把命题
p
和命题
q
联结起来,就得到一个新命题
,
记作
p
∧
q
,
读作
“
”
.
当
p
,
q
都是真命题时
,
p
∧
q
是
___
命题
;当
p
,
q
两个命题中有一个命题是假命题时,
p
∧
q
是
命题
.
p
q
p
∧
q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
我们将命题
p
和命题
q
以及
p
∧
q
的真假情况绘制为命题
“
p
∧
q
”
的真值表
如
右
:
命题
“
p
∧
q
”
的真值表可简单归纳为
“
同真则真
”.
假
p
且
q
真
(2)
“
且
”
是具有
“
兼有性
”
的逻辑联结词,对
“
且
”
的理解,可联系集合中
“
交集
”
的概念,
A
∩
B
=
{
x
|
x
∈
A
且
x
∈
B
}
中的
“
且
”
是指
“
x
∈
A
”
与
“
x
∈
B
”
这两个条件都要同时满足
.
(3)
我们也可以用串联电路来理解联结词
“
且
”
的含义,如图所示,若开关
p
,
q
的闭合与断开分别对应命题
p
,
q
的真与假,则整个电路的接通与断开对应命题
p
∧
q
的真与假
.
思考
知识点二
“
或
”
观察三个命题
:
①
3>2
;
②
3
=
2
;
③
3
≥
2
,
它们之间有什么关系
?
从集合的角度谈谈对
“
或
”
的含义的理解
.
命题
③
是命题
①
,
②
用逻辑联结词
“
或
”
联结得到的新命题
.
“
或
”
从集合的角度看
,
可设
A
=
{
x
│
x
满足命题
p
}
,
B
=
{
x
│
x
满足命题
q
}
,则
“
p
∨
q
”
对应于集合中的并集
A
∪
B
=
{
x
│
x
∈
A
或
x
∈
B
}
.
“
或
”
作为逻辑联结词
,
与日常用语中
的
“
或
”
意义有所不同
,
而逻辑联结词中
的
“
或
”
含
有
“
同时兼有
”
的意思
.
“
p
或
q
”
有三层意思
:
要么只是
p
,
要么只是
q
,
要么是
p
和
q
,
即
两者中至少要有一个
.
答案
梳理
(1)
定义:一般地,用联结词
“
或
”
把命题
p
和命题
q
联结起来,就得到一个新命题,记作
p
∨
q
,读作
“
”.
p
q
p
∨
q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
(2)
判断用
“
或
”
联结的命题的真假:当
p
,
q
两个命题有一个命题是真命题时,
p
∨
q
是
命题
;当
p
,
q
两个命题都是假命题时,
p
∨
q
是
命题
.
我们将命题
p
和命题
q
以及
p
∨
q
的真假情况绘制为命题
“
p
∨
q
”
的真值表
如
右
:
命题
“
p
∨
q
”
的真值表可简单归纳为
“
假假才假
”.
假
p
或
q
真
(3)
对
“
或
”
的理解:我们可联系集合中
“
并集
”
的概念
A
∪
B
=
{
x
|
x
∈
A
或
x
∈
B
}
中的
“
或
”
,它是指
“
x
∈
A
”
,
“
x
∈
B
”
中至少有一个是成立的,即可以是
x
∈
A
且
x
∉
B
,也可以是
x
∉
A
且
x
∈
B
,也可以是
x
∈
A
且
x
∈
B
.
(4)
我们可以用并联电路来理解联结词
“
或
”
的含义,如图所示,若开关
p
,
q
的闭合与断开对应命题
p
,
q
的真与假,则整个电路的接通与断开分别对应命题
p
∨
q
的真与假
.
题型探究
命题角度
1
简单命题与复合命题的区分
例
1
指出下列命题的形式及构成它的命题
.
(1)
向量既有大小又有方向;
解答
类型一 含有
“
且
”“
或
”
命题的构成
是
p
∧
q
形式命题
.
其中
p
:向量有大小,
q
:向量有方向
.
(2)
矩形有外接圆或有内切圆;
解答
是
p
∨
q
形式命题
.
其中
p
:矩形有外接圆,
q
:矩形有内切圆
.
(3)2
≥
2.
解答
是
p
∨
q
形式命题
.
其中
p
:
2>2
,
q
:
2
=
2.
不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题与逻辑联结词
“
或
” “
且
”
构成的命题是复合命题
.
判断一个命题是简单命题还是复合命题,不能仅从字面上看它是否含有
“
或
”“
且
”
等逻辑联结词,而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题
.
如
“
四边相等且四角相等的四边形是正方形
”
不是
“
且
”
联结的复合命题,它是真命题,而用
“
且
”
联结的命题
“
四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形
”
是假命题
.
反思与感悟
跟踪训练
1
命题
“
菱形对角线垂直且平分
”
为
_____
形式
复合命题
.
答案
p
∧
q
命题角度
2
用逻辑联结词构造新命题
例
2
分别写出下列命题的
“
p
且
q
”“
p
或
q
”
形式的命题
.
(1)
p
:梯形有一组对边平行,
q
:梯形有一组对边相等;
解答
p
或
q
:梯形有一组对边平行或有一组对边相等
.
p
且
q
:梯形有一组对边平行且有一组对边相等
.
(2)
p
:-
1
是方程
x
2
+
4
x
+
3
=
0
的解,
q
:-
3
是方程
x
2
+
4
x
+
3
=
0
的解
.
解答
p
或
q
:-
1
或-
3
是方程
x
2
+
4
x
+
3
=
0
的解
.
p
且
q
:-
1
与-
3
是方程
x
2
+
4
x
+
3
=
0
的解
.
用逻辑联结词
“
或
”“
且
”
联结
p
,
q
构成新命题时,在不引起歧义的前提下,可以把
p
,
q
中的条件或结论合并
.
反思与感悟
跟踪训练
2
指出下列命题的构成形式及构成它的命题
p
,
q
.
(1)0
≤
2
;
解答
此命题为
“
p
∨
q
”
形式的命题,其中
p
:
00
,不合题意;
解答
(2)
如果命题
“
p
或
q
”
为真命题,且
“
p
且
q
”
为假命题,求实数
a
的取值范围
.
由
x
>0
,得
3
x
>1
,
∴
y
=
3
x
-
9
x
的值域为
(
-
∞
,
0).
若命题
q
为真命题,则
a
≥
0.
由命题
“
p
或
q
”
为真命题,且
“
p
且
q
”
为假命题,得命题
p
,
q
一真一假
.
当
p
真
q
假时,
a
不存在;当
p
假
q
真时,
0
≤
a
≤
2.
∴
满足条件的
a
的取值范围是
{
a
|0
≤
a
≤
2}.
解答
解决此类问题的方法:首先化简所给的两个命题
p
,
q
,得到它们为真命题时,相应参数的取值范围;然后,结合复合命题的真假情形,确定参数的取值情况,常用分类讨论思想
.
反思与感悟
跟踪训练
4
已知命题
p
:方程
a
2
x
2
+
ax
-
2
=
0
在
[
-
1
,
1]
上有解;命题
q
:只有一个实数
x
满足不等式
x
2
+
2
ax
+
2
a
≤
0
,若命题
“
p
或
q
”
是假命题,求实数
a
的取值范围
.
解答
对于命题
p
:由
a
2
x
2
+
ax
-
2
=
0
,
得
(
ax
+
2)(
ax
-
1)
=
0
,
∴
p
为假时得
|
a
|