2018人教B版数学选修4-5课件3.2　用数学归纳法证明不等式贝努利不等式.ppt

1 . 会用数学归纳法证明简单的不等式 . 2 . 会用数学归纳法证明贝努利不等式 . 3 . 了解贝努利不等式的应用条件 . 1 . 用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中 , 有多种多样的方法 , 其中数学归纳法是最常用的方法之一 , 在运用数学归纳法证不等式时 , 推导 “ k+ 1” 成立时 , 比较法 、 分析法 、 综合法 、 放缩法 等方法常被灵活地应用 . 【做一做 1 - 1 】 欲用数学归纳法证明 : 对于足够大的正整数 n , 总有 2 n >n 3 , n 0 为验证的第一个值 , 则 ( 　　 ) A. n 0 = 1 B. n 0 为大于 1 小于 10 的某个整数 C. n 0 ≥ 10 D. n 0 = 2 解析 : n= 1 时 ,2 > 1; n= 2 时 ,4 < 8; n= 3 时 ,8 < 27; n= 4 时 ,16 < 64; n= 5 时 ,32 < 125; n= 6 时 ,64 < 216; n= 7 时 ,128 < 343; n= 8 时 ,256 < 512; n= 9 时 ,512 < 729; n= 10 时 ,1 024 > 1 000 . 故选 C . 答案 : C 【做一做 1 - 2 】 用数学归纳法证明 “ n ∈ N * , n> 1)” 时 , 由 n=k ( k> 1) 时 不等式成立推证 n=k+ 1 时 , 左边应增加的项数是 ( 　　 ) A.2 k- 1 B.2 k - 1 C.2 k D.2 k + 1 解析 : 增加的项数为 (2 k+ 1 - 1) - (2 k - 1) = 2 k+ 1 - 2 k = 2 k . 答案 : C 2 . 用数学归纳法证明贝努利不等式 (1) 定理 1( 贝努利不等式 ): 设 x>- 1, 且 x ≠0, n 为大于 1 的自然数 , 则 (1 +x ) n > 1 +nx . (2) 定理 2: 设 α 为有理数 , x>- 1, ① 若 0 < α < 1, 则 (1 +x ) α ≤ 1 + α x ; ② 若 α < 0 或者 α > 1, 则 (1 +x ) α ≥ 1 + α x . 当且仅当 x= 0 时等号成立 . 名师点拨 当指数推广到任意实数且 x>- 1 时 , ① 若 0 < α < 1, 则 (1 +x ) α ≤ 1 + α x ; ② 若 α < 0 或者 α > 1, 则 (1 +x ) α ≥ 1 + α x. 当且仅当 x= 0 时等号成立 . 应用数学归纳法证明不等式 , 从 “ n=k ” 到 “ n=k+ 1” 证明不等式成立的技巧有哪些 ? 剖析 : 在用数学归纳法证明不等式的问题中 , 从 “ n=k ” 到 “ n=k+ 1” 的过渡 , 利用归纳假设是比较困难的一步 , 它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样 , 只需拼凑出所需要的结构来 , 而证明不等式的第二步中 , 从 “ n=k ” 到 “ n=k+ 1”, 只用拼凑的方法 , 有时也行不通 , 因为对不等式来说 , 它还涉及 “ 放缩 ” 的问题 , 它可能需通过 “ 放大 ” 或 “ 缩小 ” 的过程 , 才能利用上归纳假设 , 因此 , 我们可以利用 “ 比较法 ”“ 综合法 ”“ 分析法 ” 等来分析从 “ n=k ” 到 “ n=k+ 1” 的变化 , 从中找到 “ 放缩尺度 ”, 准确地拼凑出所需要的结构 . 题型一 题型二 题型三 用数学归纳法证明数列型不等式 (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 求证 : 对一切正整数 n , 不等式 a 1 a 2 … a n < 2 n ! 恒成立 . 分析 : 由题设条件知 , 可用构造新数列的方法求得 a n ; 第 (2) 问的证明 , 可以等价变形 , 视为证明新的不等式 . 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思 利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由 n=k 到 n=k+ 1 的变形 . 为满足题目的要求 , 常常要采用 “ 放 ” 与 “ 缩 ” 等手段 , 但是放缩要有度 , 这是一个难点 , 解决这类问题一是要仔细观察题目的结构 , 二是要靠经验积累 . 题型一 题型二 题型三 用数学归纳法比较大小 分析 : 先通过 n 取比较小的值进行归纳猜想 , 确定证明方向 , 再用数学归纳法证明 . 题型一 题型二 题型三 当 n= 1 时 ,2 1 = 2 > 1 2 = 1; 当 n= 2 时 ,2 2 = 4 = 2 2 ; 当 n= 3 时 ,2 3 = 8 < 3 2 = 9; 当 n= 4 时 ,2 4 = 16 = 4 2 ; 当 n= 5 时 ,2 5 = 32 > 5 2 = 25; 当 n= 6 时 ,2 6 = 64 > 6 2 = 36 . 故猜测当 n ≥ 5( n ∈ N * ) 时 ,2 n >n 2 . 下面用数学归纳法进行 证明 : (1) 当 n= 5 时 , 显然成立 . (2) 假设当 n=k ( k ≥ 5, 且 k ∈ N * ) 时 , 不等式成立 , 即 2 k >k 2 ( k ≥ 5), 则当 n=k+ 1 时 , 2 k+ 1 = 2·2 k > 2· k 2 =k 2 +k 2 + 2 k+ 1 - 2 k- 1 = ( k+ 1) 2 + ( k- 1) 2 - 2 > ( k+ 1) 2 ( 因为 ( k- 1) 2 > 2) . 题型一 题型二 题型三 反思 利用数学归纳法比较大小 , 关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系 , 猜测出证明方向 , 再利用数学归纳法证明结论成立 . 题型一 题型二 题型三 用数学归纳法证明探索型不等式 题型一 题型二 题型三 (1) 当 n= 1 时 , 显然成立 . (2) 假设当 n=k ( k ∈ N * , 且 k ≥ 1) 时 , 题型一 题型二 题型三 反思 用数学归纳法解决探索型不等式的思路是 : 观察 —— 归纳 —— 猜想 —— 证明 , 即先通过观察部分项的特点进行归纳 , 判断并猜测出一般结论 , 然后用数学归纳法进行证明 . 1 2 3 4 1. 下列选项中 , 满足 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … +n× ( n+ 1) > 3 n 2 - 3 n+ 2 的自然数 n 是 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 : 将 n= 1,2,3,4 分别代入验证即可 . 答案 : D 1 2 3 4 答案 : C 1 2 3 4 1 2 3 4