2018人教B版数学选修4-5课件1.2　基本不等式.ppt

1 . 了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值 . 2 . 理解定理 1 和定理 2( 基本不等式 ) . 3 . 探索并了解三个正数的算术 — 几何平均值不等式的证明过程 . 4 . 掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题 . 1 . 定理 1 设 a , b ∈ R , 则 a 2 +b 2 ≥ 2 ab , 当且仅当 a=b 时 , 等号成立 . 2 . 定理 2 ( 基本不等式或平均值不等式 ) (3) 基本不等式可用语言叙述为 : 两个正数的 算术平均值 大于或等于它们的 几何平均值 . 【做一做 2 - 1 】 下列不等式中正确的是 ( 　　 ) 答案 : D 答案 : 4 3 . 定理 3 ( 三个正数的算术 — 几何平均值不等式或平均值不等式 ) (3) 定理 3 可用语言叙述为三个正数的 算术平均值 不小于它们的 几何平均值 . 【做一做 3 】 已知 x , y , z 是正数 , 且 x+y+z= 6, 则 lg x+ lg y+ lg z 的取值范围是 ( 　　 ) A.( -∞ ,lg 6] B.( -∞ ,3lg 2] C.[lg 6, +∞ ) D.[3lg 2, +∞ ) 解析 : ∵ x , y , z 是正数 , ∴ lg x+ lg y+ lg z= lg xyz ≤ lg 2 3 = 3lg 2, 当且仅当 x=y=z= 2 时 , 等号成立 . 答案 : B 4 . 定理 4 ( 一般形式的算术 — 几何平均值不等式 ) 答案 : 4 1 . 三个或三个以上正数的算术 — 几何平均值不等式的应用条件是什么 ? 剖析 :“ 一正 ”: 不论是三个数的平均值不等式或者 n 个数的平均值 “ 二定 ”: 包含两类求最值问题 : 一是已知 n 个正数的和为定值 ( 即 a 1 +a 2 + … +a n 为定值 ), 求其积 a 1 a 2 … a n 的最大值 ; 二是已知乘积 a 1 a 2 … a n 为定值 , 求其和 a 1 +a 2 + … +a n 的最小值 . “ 三相等 ”: 等号成立的条件是 a 1 =a 2 =a 3 = … =a n , 不能只是其中一部分值相等 . 2 . 如何使用基本不等式中的变形与拼凑方法 ? 剖析 : 为了使用基本不等式求最值 ( 或范围等 ), 往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构 , 有时一个数拆成两个或两个以上的数 , 题型一 题型二 题型三 题型四 利用基本不等式比较大小 分析 : 解答本题应充分利用基本不等式及其变形 , 不等式的性质 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型四 题型三 利用基本不等式求最值 分析 : 根据题设条件 , 合理变形 , 创造能用基本不等式的条件 . 题型一 题型二 题型四 题型三 题型一 题型二 题型四 题型三 题型一 题型二 题型四 题型三   反思 利用基本不等式解题时要注意考察 “ 三要素 ”:(1) 函数中的相关项必须都是正数 ;(2) 变形后各项的和或积有一个必须是常数 ;(3) 当且仅当各项相等时 , 才能取到等号 , 可简化为 “ 一正二定三相等 ” . 求函数的最值时 , 常将不满足上述条件的函数式进行 “ 拆 ” 、 “ 配 ” 等变形 , 使其满足条件 , 进而求出最值 . 题型一 题型二 题型三 题型四 基本不等式的实际应用 【例 3 】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 , 拟在 2017 年第 10 届世界运动会期间进行一系列促销活动 , 经过市场调查和测算 , 化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3 -x 与 t+ 1 成反比例的关系 , 如果不搞促销活动 , 化妆品的年销量只能是 1 万件 , 已知 2017 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元 , 每生产 1 万件化妆品需要投入 32 万元的生产费用 , 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150% 与平均每件促销费的一半之和 , 则当年生产的化妆品正好能销完 . (1) 将 2017 年的利润 y ( 单位 : 万元 ) 表示为促销费 t ( 单位 : 万元 ) 的函数 ; (2) 该企业 2017 年的促销费投入多少万元时 , 企业的年利润最大 ? 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 : 表示出题中的所有已知量和未知量 , 先 利用它们之间的关系列出函数表达式 , 再应用不等式求最值 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 解答不等式的实际应用问题 , 一般可分为如下四步 . (1) 阅读理解材料 : 应用题所用语言多为 “ 文字语言、符号语言、图形语言 ” 并用 , 而且多数应用题篇幅较长 . 阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型 . 这就要求解题者领悟问题的实际背景 , 确定问题中量与量之间的关系 , 初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路 , 明确解题方向 . (2) 建立数学模型 : 根据 (1) 中的分析 , 把实际问题用 “ 符号语言 ” 、 “ 图形语言 ” 抽象成数学模型 , 并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系 , 以便确立下一步的努力方向 . (3) 讨论不等关系 : 根据题目要求和 (2) 中建立起来的数学模型 , 讨论与结论有关的不等关系 , 得出有关理论参数的值 . (4) 得出问题结论 : 根据 (3) 中得到的理论参数的值 , 结合题目要求得出问题的结论 . 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点 : 利用基本不等式求最值时 , 应注意不等式成立的条件 , 即变量为正实数 , 和或积为定值 , 等号成立 , 三者缺一不可 . 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 1 下列函数中 , 最小值为 2 的是 ( 　　 ) 答案 : D 1 2 3 4 5 答案 : C 1 2 3 4 5 A.3 B.4 C.5 D.6 答案 : A 1 2 3 4 5 4 周长为 l 的矩形的面积的最大值为 　　　　　 , 对角线长的最小值为 　　　　　 .  1 2 3 4 5