8.1
二元一次方程组
第八章 二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.
了解二元一次方程（组）及其解的定义．
2.
会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解
.
（重点）
3.
能根据简单的实际问题列出二元一次方程组
.
（难点）
导入新课
视频引入
讲授新课
二元一次方程组的定义
一
问题
1
：
依据章引言的问题如何列一元一次方程？
解：设胜
x
场，则负（
10
－
x
）场
.
章引言：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得
2
分，负一场得
1
分．某队在
10
场比赛中得到
16
分，那么这个队胜负分别是多少？
2
x
+
（
10
－
x
）
=16.
问题
2
能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变的容易呢？
分析
胜的场数＋负的场数＝总场数
胜的场数的分数＋负的场数的分数＝总分数
设篮球队胜了
x
场，负了
y
场
.
得分
10
场数
合计
负
胜
x
y
2
x
y
16
2
x
＋
y
=
1
6
x
＋
y
=
1
0
思考一
:
上述方程有什么共同特点
?
思考二
:
它与你学过的一元一次方程比较有什么区别
?
思考三
:
你能给它起个名字吗
?
x
＋
y
=
1
0
2
x
＋
y
=
1
6
议一议
含有
两个
未知数
,
并且所含未知数的项的次数都是
1
的方程叫作
二元一次方程
.
知识要点
注意：（
1
）“一次”是指含未知数的项的次数
是
1
，而不是未知数的次数；
（
2
）方程的左右两边都是整式
.
(8)4xy+5=0
(1)x+y=11
(3)x
2
+y=5
(2)m+1=2
(4)3x
－
π=11
(5)
－
5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
(7)7x+ =13
y
2
二元一次方程
不是二元一次方程
判断下列方程是不是二元一次方程？
练一练
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为
0，
且含未知数的项的次数都是
1.
方法
例
1
已知
|
m
－
1|
x
|
m
|
＋
y
2
n
－
1
＝
3
是二元一次方程，
则
m
＋
n
＝
________
．
典例精析
解析：根据题意得
|
m
|
＝
1
且
|
m
－
1|≠0
，
2
n
－
1
＝
1
，解得
m
＝－
1
，
n
＝
1
，所以
m
＋
n
＝
0.
0
由方程是
二元一次方程可知：
(1)未知数的系数不为
0
；
(2)未知数的次数都是
1.
方法
练一练
若
x
2m-1
+5y
3n-2m
=7
是二元一次方程，则
m=____
，
n=____.
2m-1=1
1
3n-2m=1
1
方程组中有
两个
未知数，含有每个未知数的项的次数都是
1
，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作
二元一次方程组
.
知识要点
x
＋
y=
1
0
2x
＋
y=
1
6
，
叫作方程组
紧扣相关概念
下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
B
练一练
小提示： 也是二元一次方程组
.
二元一次方程组的解
二
x
y
探究
满足课堂开始篮球联赛问题中的方程 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中
.
思考
1
如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x,y
还可取到小数
,
如
x=0.5,y=9.5;
有无数组这样的值
.
适合一个二元一次方程的一组未知数的值
,
叫做这个
二元一次方程的一个解
.
知识要点
二元一次方程组中各个方程的公共解
,
叫做这个
二元一次方程组的解
.
思考
2
上表中哪对
x
，
y
的值还满足方程
2
x
+
y
=16
②？
x
=6
，
x
=4
还满足方程②．也就是说
,
它是方程
x+y=
10
①与方程②的
公共解
，记作
知识要点
练一练
1.
下列各组数是不是方程
2a=3b+20
的解
?
a=4
b=3
a=100
b=60
①
②
×
√
左边
≠
右边
右
=
3×3+20
右边
=
3×60+20
左边
=
2×100
左边
=
右边
左边
=
2×4
结论：
一般地，二元一次方程有无数组解，而二元一次方程组只有一组解
练一练
2.
二元一次方程组 的解是
( )
｛
x+2y=10,
y=2x
A.
｛
C.
｛
D.
｛
B.
｛
x=4,
y=3
x=3,
y=6
x=2,
y=4
x=4,
y=2
｛
x=-2,
y=3
例
2
若 是方程
x-ky=1
的解
,
则
k
的值为
.
典例精析
解析：将 代入原方程得
-2-3k=1
，解得
k
＝－
1.
｛
x=-2,
y=3
-1
例
3
加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成
900
件，第二道工序每人每天可完成
1200
件
.
现有
7
位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组
.
典例精析
解：设安排第一道工序为
x
人，第二道工序为
y
人
.
根据题意得
根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（
）
哦
……
我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了
5
支笔和
10
本笔记本花了
42
元钱，第二次买了
10
支笔和
5
本笔记本花了
30
元钱．
小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊
？
D
A.0.8
元
/
支，
2.6
元
/
本
B.0.8
元
/
支，
3.6
元
/
本
C.1.2
元
/
支，
2.6
元
/
本
D.1.2
元
/
支，
3.6
元
/
本
设小红所买的笔
和笔记本的价格分别为
x
元和
y
元
,
可列 将选项代入判断是否是方程组的解
.
做一做
2.
二元一次方程组 的解是
( )
A. B. C. D.
C
x
+ =1
，
y
+
x
=2
1.
下列不是二元一次方程组的是
(
)
A.
x
+
y
=3
，
x
-
y
=1
B.
C.
D.
6
x
+4
y
=9
，
y
=3
x
+4
B
x
=1
，
y
=1
当堂练习
x
=1
，
y
=3
2
x
+
y
=5
，
3
x
-2
y
=4
x
=1
，
y
=2
x
=2
，
y
=1
x
=2
，
y
=-1
3.
关于
x
、
y
的方程
ax
2
+bx+2y=3
是一个二元一次方程，则
a
、
b
的值分别为（ ）
A .a=0
且
b=0 B.a=0
或
b=0
C.
a=0
且
b≠0 D.a≠0
且
b≠0
C
4.
小刘同学用
10
元钱购买了两种不同的贺卡共
8
张，
单价分别是
1
元与
2
元．设他购买了
1
元的贺卡
x
张，
2
元的贺卡
y
张，那么可列方程组
(
)
A. B.
C. D.
D
5.
已知 是方程
2x-4y+2a=3
的一组解，则
a=____.
6.
若方程
2x
2m+3
+3y
3n-7
=0
是关于
x
、
y
的二元一次方程，则
m=______
，
n=______
；
x=3
，
y=1
1
2
-1
8
3
7.
写出方程
x
+2
y
=5
在自然数范围内
的所有解
.
x=
1
，
y
=2
x=
3
，
y=
1
x=
5
，
y=
0
8.
把一根长
13m
的钢管截成
2m
长或
3m
长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？
解：设截成
2m
长的钢管
x
根，
3m
长的钢管
y
根
,
则
2x+3y=13,
∵x,y
均为非负整数，
∴
或
∴
有
2
种不同的截法
.
3m
长
1
根、
2m
长
5
根以及
3m
长
3
根、
2m
长
2
根
.
拓展提升
x=
5
，
y
=1
x=
2
，
y=
3
认识二元一次方程组
二元一次方程及二元一次方程组的定义
课堂小结
二元一次方程
及
二元一次方程
组的解
根据实际问题列二元一次方程组
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