第九单元
圆
第
29
课时
圆的有关性质
1
.
[2017·
广州
]
如图
29
-
1
,在
⊙
O
中,
AB
是直径,
CD
是弦,
AB
⊥
CD
,垂足为
E
,连结
CO
,
AD
,∠
BAD
=
20°
,则下列说法中正确的是
(
)
A
.
AD
=
2
OB
B
.
CE
=
EO
C
.∠
OCE
=
40°
D
.∠
BOC
=
2∠
BAD
小题热身
D
图
29
-
1
2
.在圆内接四边形
ABCD
中,已知
∠
A
=
70°
,则
∠
C
=
(
)
A
.
20° B
.
30° C
.
70° D
.
110°
D
3
.
[2017·
眉山
]
如图
29
-
2
,
AB
是
⊙
O
的弦,半径
OC
⊥
AB
于点
D
,且
AB
=
8 cm
,
DC
=
2 cm
,则
OC
=
___cm.
图
29
-
2
5
第
3
题答图
4
.
[2017·
重庆
A
卷
]
如图
29
-
3
,
BC
是
⊙
O
的直径,点
A
在圆上,连结
AO
,
AC
,∠
AOB
=
64°
,则
∠
ACB
=
____
.
【
解析
】 ∵
AO
=
OC
,∴∠
ACB
=
∠
OAC
,∵∠
AOB
=
64°
,∴∠
ACB
+∠
OAC
=
64°
,∴∠
ACB
=
64°÷2
=
32°.
图
29
-
3
32°
一、必知
8
知识点
1
.
圆的有关概念
定义:在同一平面内,线段
OP
绕它固定的一个端点
O
旋转一周,另一个端点
P
所经过的封闭曲线叫做圆,定点
O
叫做
_____
,线段
OP
叫做
__________
.
圆的集合定义:圆是到定点的距离等于
_____
的点的集合.
考点管理
圆心
圆的半径
定长
圆的有关概念:连结圆上任意两点的线段叫做
____
;经过圆心的弦叫做
_____
;圆上任意两点间的部分叫做
____
;大于半圆的弧叫做
_____
;小于半圆的弧叫做
_____
;圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做
____
.
2
.
点和圆的位置关系
如果圆的半径是
r
,点到圆心的距离为
d
,那么:
(1)
点在圆外
⇔
____
;
(2)
点在圆上
⇔
_____
;
(3)
点在圆内
⇔
____
.
弦
直径
弧
优弧
劣弧
半圆
d
>
r
d
=
r
d
<
r
3
.
确定圆的条件
确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定
____
个圆.
三角形的外接圆:经过三角形各个顶点的圆;
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形.
一
【
智慧锦囊
】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,锐角三角形的外心在三角形的
_____
,直角三角形的外心是
_______________
_______
,钝角三角形的外心在三角形的
_____
.
内部
直角三角形斜边
外部
的中点
4
.
圆的对称性
圆既是一个轴对称图形又是一个
_____
对称图形,圆还具有旋转不变性.
5
.
垂径定理及其推论
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的
____
.
推论:
(1)
平分弦
(
非直径
)
的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
中心
弧
【
智慧锦囊
】
用垂径定理进行计算或证明时,常常连结半径或作出弦心距,构造出直角三角形求解
.
6
.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
_____
,所对的弦
_____
.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等.
7
.
圆周角
圆周角:顶点在圆上,它的两边都和圆相交的角;
圆周角定理:圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数的
_____
.
相等
相等
一半
推论:
(1)
半圆
(
或直径
)
所对的圆周角是
____
角;
(2)90°
的圆周角所对的弦是
_____
;
(3)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧
_____
.
8
.
圆内接四边形
圆内接四边形:如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
性质:圆内接四边形的对角互补.
直
直径
相等
二、必会
2
方法
1
.
添加辅助线
(1)
有关弦的问题,常作其弦心距,构造直角三角形,如图
29
-
4
;
(2)
有关直径的问题,常作直径所对的圆周角,如图
29
-
5.
图
29
-
4
图
29
-
5
2
.
分类讨论
在圆中,常涉及到分类讨论,如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种,则其所对的圆周角不一定相等;另外,有关于弦的问题也需要分类讨论,如有两条弦时,需要分在圆心同侧还是异侧等.此类问题是中考的热点.
点与圆的位置关系
[2018·
中考预测
]
如图
29
-
6
,在
Rt
△
ABC
中,∠
ACB
=
90°
,
AC
=
3
,
BC
=
4
,
CP
,
CM
分别是
AB
上的高线和中线,
如果
⊙
A
是以点
A
为圆心,半径长为
2
的圆,
那么下列判断正确的是
(
)
C
图
29
-
6
A
.点
P
,
M
均在
⊙
A
内
B
.点
P
,
M
均在
⊙
A
外
C
.点
P
在
⊙
A
内,点
M
在
⊙
A
外
D
.点
P
在
⊙
A
外,点
M
在
⊙
A
内
【
点悟
】
点与圆的位置关系的判定,根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小作出判断.
[2017·
枣庄
]
如图
29
-
7
,在网格
(
每个小正方形的边长均为
1)
中选取
9
个格点
(
格线的交点称为格点
)
.如果以
A
为圆心,
r
为半径画圆,选取的格点中除点
A
外恰好有
3
个在圆内,则
r
的取值范围为
(
)
B
图
29
-
7
变式跟进答图
圆心角、弧、弦之间的关系
[2016·
舟山
]
把一张圆形纸片按如图
29
-
8
的方式折叠两次后展开
(
图中的虚线表示折痕
)
,则的度数是
(
)
A
.
120° B
.
135°
C
.
150° D
.
165°
图
29
-
8
C
例
2
答图
【
点悟
】
(1)
在同圆
(
或等圆
)
中,圆心角
(
或圆周角
)
、弧、弦、弦心距中只要有一组量相等,则其他对应的各组量也分别相等.利用这个性质可以将问题互相转化,达到求解或证明的目的;
(2)
注意圆中的隐含条件:半径相等;
(3)
注意分类讨论思想的应用.
1
.如图
29
-
9
,圆心角
∠
AOB
=
20°
,将旋转
n
°
得到,则的度数是
_____
度.
20
图
29
-
9
2
.如图
29
-
10
,
A
,
B
是
⊙
O
上的两点,∠
AOB
=
120°
,
C
是的中点.
(1)
求证:
AB
平分
∠
OAC
;
(2)
延长
OA
至点
P
使得
OA
=
AP
,连结
PC
,若
⊙
O
的半径
R
=
1
,求
PC
的长.
图
29
-
10
变式跟进
2
答
图
【
解析
】 (1)
证得等边三角形
AOC
和等边三角形
OBC
,推出
OA
=
OB
=
BC
=
AC
;
(2)
求出
AC
=
OA
=
AP
,∠
PCO
=
90°
,∠
P
=
30°.
解
:
(1)
证明:如答图,连结
OC
.
∵∠
AOB
=
120°
,
C
是的中点,
∴∠
AOC
=
∠
BOC
=
60°
,
∵
OA
=
OC
,∴△
ACO
是等边三角形,
∴
OA
=
AC
.
同理,
OB
=
BC
,
∴
OA
=
AC
=
BC
=
OB
.
∴四边形
AOBC
是菱形,
∴
AB
平分
∠
OAC
;
(2)
由
(1)
知
OA
=
AC
,又
∵
OA
=
AP
,∴
AP
=
AC
,
∵∠
PAC
=
180°
-
∠
OAC
=
120°
,
∴∠
P
=
∠
ACP
=
30°
,∴∠
PCO
=
90°
,
垂径定理及其推论
[2017·
金华
]
如图
29
-
11
,在半径为
13 cm
的圆形铁片上切下一块高为
8 cm
的弓形铁片,则弓形弦
AB
的长为
(
)
A
.
10 cm B
.
16 cm C
.
24 cm D
.
26 cm
C
图
29
-
11
1
.一条排水管的截面如图
29
-
12
所示,已知
排水管的半径
OA
=
1 m
,水面宽
AB
=
1.2 m
,
某天下雨后,水管水面上升了
0.2 m
,则此时
排水管水面宽
CD
等于
____m.
【
解析
】
如答图,连结
OC
,作
OE
⊥
AB
,
垂足为
E
,与
CD
交于
F
点,
OA
=
1 m
,
EA
=
0.6 m
,
根据勾股定理,得
OE
=
0.8 m
,
EF
=
0.2 m
,
则
OF
=
0.6 m
,在
△
OCF
中,
OF
=
0.6 m
,
OC
=
1 m
,得
CF
=
0.8 m
,∴
CD
=
1.6 m
,故答案为
1.6 m.
图
29
-
12
变式跟进
1
答图
1.6
2
.赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约
1 400
年,历经无数次洪水冲击和多次地震却安然无恙.如图
29
-
13
,若桥跨度
AB
约为
40 m
,主拱高
CD
约
10 m
,则桥弧
AB
所在圆的半径
R
=
______m.
25
图
29
-
13
3
.
[2016·
绍兴
]
如图
29
-
14①
,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,如图
②
是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为
A
,
B
,
AB
=
40 cm
,脸盆的最低点
C
到
AB
的距离为
10 cm
,则该脸盆的半径为
______cm.
25
图
29
-
14
【
解析
】
如答图,设圆的圆心为
O
,连结
OA
,
OC
,
OC
与
AB
交于点
D
,设
⊙
O
半径为
R
,在
Rt
△
AOD
中利用勾股定理即可解决问题.
如答图,设圆的圆心为
O
,连结
OA
,
OC
,
OC
与
AB
交于点
D
,设
⊙
O
半径为
R
,
在
Rt
△
AOD
中,∵∠
ADO
=
90°
,
∴
OA
2
=
OD
2
+
AD
2
,
∴
R
2
=
20
2
+
(
R
-
10)
2
,
解得
R
=
25
,脸盆的半径为
25 cm.
变式跟进
3
答图
【
点悟
】
在已知直径与弦垂直的问题中,常连结半径构造直角三角形,其中斜边为圆的半径,两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离,进而运用勾股定理来计算.
圆周角定理及其推论
[2017·
台州
]
如图
29
-
15
,已知等腰直
角三角形
ABC
,点
P
是斜边
BC
上一点
(
不
与
B
,
C
重合
)
,
PE
是
△
ABP
的外接圆
⊙
O
的直径.
(1)
求证:
△
APE
是等腰直角三角形;
(2)
若
⊙
O
的直径为
2
,求
PC
2
+
PB
2
的值.
图
29
-
15
解
:
(1)
证明:
∵
AB
=
AC
,∠
BAC
=
90°
,
∴∠
C
=
∠
ABC
=
45°
,
∴∠
AEP
=
∠
ABP
=
45°
,
∵
PE
是直径,∴∠
PAE
=
90°
,
∴∠
APE
=
∠
AEP
=
45°
,
∴
AP
=
AE
,∴△
APE
是等腰直角三角形;
(2)∵∠
PAB
+
∠
BAE
=
∠
PAE
=
90°
,
∠
PAB
+
∠
CAP
=
∠
CAB
=
90°
,
∴∠
BAE
=
∠
CAP
,
∴△
BAE
≌△
CAP
(
SAS
)
,∴
PC
=
EB
,∵
PE
为
⊙
O
直径,∴∠
PBE
=
90°
,
∴
PE
2
=
PB
2
+
BE
2
,
∴
PC
2
+
PB
2
=
PE
2
=
4.
1
.
[2017·
绍兴
]
如图
29
-
16
,一块含
45°
角的
直角三角板,它的一个锐角顶点
A
在
⊙
O
上,边
AB
,
AC
分别与
⊙
O
交于点
D
,
E
,
则
∠
DOE
的度数为
______
.
图
29
-
16
90°
2
.如图
29
-
17
,⊙
O
的半径为
1
,
A
,
P
,
B
,
C
是
⊙
O
上的四个点,∠
APC
=
∠
CPB
=
60°.
(1)
判断
△
ABC
的形状,并说明理由;
(2)
试探究线段
PA
,
PB
,
PC
之间的数量关系,并证明你的结论.
图
29
-
17
备用图
【
解析
】 (1)
利用圆周角定理,可得
∠
BAC
=
∠
CPB
,∠
ABC
=
∠
APC
,而
∠
APC
=
∠
CPB
=
60°
,∴∠
BAC
=
∠
ABC
=
60°
,从而可判断
△
ABC
的形状;
(2)
如答图,在
PC
上截取
PD
=
AP
,则
△
APD
是等边三角形,然后证明
△
APB
≌△
ADC
,得出
BP
=
CD
.
从而得到
PA
,
AB
,
PC
的数量关系.
∴∠
BAC
=
∠
CPB
,∠
ABC
=
∠
APC
,
又
∵
∠
APC
=
∠
CPB
=
60°
,∴∠
ABC
=
∠
BAC
=
60°
,∴△
ABC
为等边三角形;
(2)
PC
=
PA
+
PB
.
证明:如答图,在
PC
上截取
PD
=
AP
,连
结
AD
.
∵∠
APC
=
60°
,∴△
APD
是等边三角形,
∴
AD
=
AP
=
PD
,∠
ADP
=
60°
,
即
∠
ADC
=
120°.
又
∵∠
APB
=
∠
APC
+
∠
BPC
=
120°
,
∴∠
ADC
=
∠
APB
,
变式跟进
2
答图
【
点悟
】
(1)
由圆周角与圆心角的关系可知:圆周角定理是建立在圆心角的基础上的,有了圆周角定理,就多了一种证明角相等关系或倍分关系的方法;
(2)
直径所对圆周角为直角,反之亦成立,在圆的有关证明和计算中要创造条件,灵活运用,使问题简单化.
必明
3
易错点
1
.弦和弧的两个端点都在圆上,但弦是线段,弧是曲线.
2
.直径是圆中最长的弦,半径不是弦;半圆不是直径.
3
.应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时,前提条件是
“
在同圆或等圆中
”
,它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法.如果没有
“
在同圆或等圆中
”
这个前提条件,在应用时推出的结论是错误的.
圆的计算中谨防漏解
[
襄阳中考
]
圆的半径为
13 cm
,两弦
AB
∥
CD
,
AB
=
24 cm
,
CD
=
10 cm
,则两弦
AB
,
CD
的距离是
(
)
A
.
7 cm
B
.
17 cm
C
.
12 cm
D
.
7 cm
或
17 cm
【
错解
】
如答图
①
,过点
O
作
OE
⊥
CD
,交
AB
于
F
,交
CD
于
E
,连结
OB
,
OD
.
∵
CD
=
10 cm
,
∴
DE
=
5 cm.
∵
OD
=
13 cm
,
∴
OE
=
12 cm.
同理
OF
=
5 cm
,∴
EF
=
7 cm.
故选
A.
【
错因
】
当已知条件中没有明确的图时,要注意分类讨论,错解忽略这一点,造成丢解.此题可以分两种情况,即两弦在圆心的同一侧时和在两侧时,所以此题的答案有两个.
易错警示答图
①
【
正解
】
第一种情况:两弦在圆心的一侧时,
即错解结论;第二种情况:如答图
②
,两弦
在圆心的不同侧,此时
EF
=
OE
+
OF
=
17 cm.
故选
D.
易错警示答图
②