2018年中考第2篇考点聚焦《第10讲：与圆有关的证明及计算》课件.ppt

第 10 讲　与圆有关的证明及计算 圆切线的判定与性质 【 例 1 】 　 ( 2017 · 德州 ) 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90 ° ， D 为 BC 的中点 ， 以 AC 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 E. (1) 求证： DE 是 ⊙ O 的切线； (2) 若 AE ∶ EB ＝ 1 ∶ 2 ， BC ＝ 6 ， 求 AE 的长． 解： (1) 证明：如图 ， 连接 OE ， EC ， ∵ AC 是 ⊙ O 的直径 ， ∴∠ AEC ＝ ∠ BEC ＝ 90 ° ， ∵ D 为 BC 的中点 ， ∴ ED ＝ DC ＝ BD ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∵ OE ＝ OC ， ∴∠ 3 ＝ ∠ 4 ， ∴∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ ∠ 2 ＋ ∠ 4 ， 即 ∠ OED ＝ ∠ ACB ， ∵∠ ACB ＝ 90 ° ， ∴∠ OED ＝ 90 ° ， ∴ DE 是 ⊙ O 的切线　 【 点评 】 　 本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定 ， 能求出 ∠ OED ＝∠ BCA 和 △ BEC∽△BCA 是解此题的关键． [ 对应训练 ] 1 ． (1) ( 2017 · 南充 ) 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90 ° ， 以 AC 为直径作 ⊙ O 交 AB 于点 D ， E 为 BC 的中点 ， 连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F. ① 求证： DE 是 ⊙ O 的切线； ② 若 CF ＝ 2 ， DF ＝ 4 ， 求 ⊙ O 直径的长． 解：①如图 ， 连接 OD ， CD ， ∵ AC 为⊙ O 的直径 ， ∴△ BCD 是直角三角形 ， ∵ E 为 BC 的中点 ， ∴ BE ＝ CE ＝ DE ， ∴∠ CDE ＝∠ DCE ， ∵ OD ＝ OC ， ∴∠ ODC ＝∠ OCD ， ∵∠ ACB ＝ 90 ° ， ∴∠ OCD ＋∠ DCE ＝ 90 ° ， ∴∠ ODC ＋∠ CDE ＝ 90 ° ， 即 OD ⊥ DE ， ∴ DE 是⊙ O 的切线　②设⊙ O 的半径为 r ， ∵∠ ODF ＝ 90 ° ， ∴ OD 2 ＋ DF 2 ＝ OF 2 ， 即 r 2 ＋ 4 2 ＝ (r ＋ 2) 2 ， 解得 r ＝ 3 ， ∴⊙ O 的直径为 6 圆与相似 【 点评 】 　 本题考查了圆的有关知识 、 相似三角形的判定和性质 、 勾股定理等知识 ， 解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题． [ 对应训练 ] 2 ． (1) ( 2017 · 邵阳 ) 如图 ， 直线 DP 和圆 O 相切于点 C ， 交直线 AE 的延长线于点 P ， 过点 C 作 AE 的垂线 ， 交 AE 于点 F ， 交圆 O 于点 B ， 作平行四边形 ABCD ， 连接 BE ， DO ， CO. ① 求证： DA ＝ DC ； ② 求 ∠ P 及 ∠ AEB 的大小． 圆与锐角三角函数 【 点评 】 　 本题考查了垂径定理 、 相似三角形的判定和性质 、 锐角三角函数 、 勾股定理等知识 ， 解题的关键是学会添加常用辅助线 ， 灵活运用所学知识解决问题 ， 正确寻找相似三角形 ， 构建方程解决问题．