1.3.3
函数的极值与导数之间的关系：
x
x
0
左侧
x
0
x
0
右侧
f
(
x
)
f
(
x
)
x
x
0
左侧
x
0
x
0
右侧
f
(
x
)
f
(
x
)
增
f
(
x
)
>0
f
(
x
)
=0
f
(
x
)
0
时，当
x
变化时，
f
′
(
x
)
，
f
(
x
)
的变化情况如下表：
x
[
－
1,0)
0
(0,2]
f
′
(
x
)
＋
0
－
f
(
x
)
最大值
所以当
x
＝
0
时，
f
(
x
)
取得最大值，所以
f
(0)
＝
b
＝
3.
又
f
(2)
＝－
16
a
＋
3
，
f
(
－
1)
＝－
7
a
＋
3
，
f
(
－
1)>
f
(2)
．
所以当
x
＝
2
时，
f
(
x
)
取得最小值，即－
16
a
＋
3
＝－
29
，
a
＝
2.
(2)
当
a
f
(
－
1)
．
所以当
x
＝
2
时，
f
(
x
)
取得最大值，即－
16
a
－
29
＝
3
，
a
＝－
2.
综上所述
a
＝
2
，
b
＝
3
或
a
＝－
2
，
b
＝－
29.
[
点拨
]
本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定
a
，
b
的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想．
自主练习：
思考讨论：
思考讨论：
【
解析
】
本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用
,
体现了分类讨论的数学思想。要使之恒成立，只要在 上
求
f
（
x
）最小值即可。
对于
总有
成立，则
=
▲
。
当
时，
，所以
，
不符合题意，舍去
当
时
，
即
单调递减
，
，
舍去。
当
时
(1)
当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减。所以
时
在
上单调递减，
，不符合题意，舍去。
(2)
当
综上可知：
a=4.
解：（
I
）∵
（ ），
∴当
x=-t
时，
f(x
)
取最小值
f(-t
)=-
t3+
t-1,
即
h(t
)=-t
3
+t-1.
(II)
令
g(t
)=h(t)-(-2t+m)=-t
3
+3t-1-m,
由
=-3t
2
+3=0
得
t=1,t=-1
（不合题意，舍去）
.
当
t
变化时 、
g(t
)
的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
+
0
-
g(t
)
递增
极大值
1-m
递减
∴
g(t
)
在（
0
，
2
）内有最大值
g(1)=1-m
h(t
)
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