八年级数学下册第十八章四边形18.1.2平行四边形的判定三课件新版新人教版20181027190.ppt

2 3 4 1 5 课前预习 ……………..… 课堂导学 ……………..… 课后巩固 ……………..… 核心目标 ……………..… 能力培优 …………………. 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形 ( 一 ) 核心目标 理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质． 课前预习 1.___________________________________ 叫做菱形． 2. 菱形的四条边都 ____ __ ___ ． 3. 菱形的两条对角线 _______ __ ___ ，并且每一条对角 线平分一组对角． 互相垂直 有一组邻边相等的平行四边形 相等 课堂导学 知识点 1 ： 菱形的性质 【例 1 】已知：如右图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E. 求证： ∠AFD ＝ ∠CBE. 【解析】根据菱形的性质得出 ∠BCE ＝ ∠DCE ， BC ＝ CD ，证 △ BCE≌ △ DCE ，可得 ∠CBE ＝ ∠CDE 再由 AB ∥ CD ，得 ∠AFD ＝ ∠CDE 即可． 课堂导学 【答案】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ BCE ＝ ∠DCE ， BC ＝ CD ， AB ∥ CD ， ∴∠ AFD ＝ ∠CDE ，在 △ BCE 和 △ DCE 中 ∴ △ BCE ≌ △ DCE ，∴∠ CBE ＝ ∠CDE ， ∵∠ AFD ＝ ∠CDE ，∴∠ AFD ＝ ∠CBE. 【点拔】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识 , 得出 △ BCE≌ △ DCE 是解题关键 . 课堂导学 对点训练一 1.(2015· 广东 ) 如下图，菱形 ABCD 的边长为 6 ，∠ ABC ＝ 60°, 则对角线 AC 的长是 __ __ __ ． 6 　 2. 如上图， P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上一点， PE ⊥ AB 于点 E ， PE ＝ 4 cm ，则点 P 到 BC 的 距离是 _______cm. 4 　 课堂导学 3. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 ( 　　 ) A ．两组对边分别平行 B ．两组对角分别相等 C ．对角线互相平分 D ．对角线互相垂直 D 4. 如下图，菱形 ABCD 的周长为 16 ，∠ ABC ＝ 120° ，则 AC 的 长为 ( 　　 ) A ． 4 B ． 4 C ． 2 D ． 2 A 课堂导学 5. 如上图，菱形 ABCD 中，已知 ∠D ＝ 110° ，则 ∠BAC 的度数为 ( 　　 ) A ． 30 ° B ． 35 ° C ． 40 ° D ． 45 ° ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD ＝ CD ，∠ A ＝ ∠C ， 又 ∵∠AED ＝ ∠CFD ＝ 90° ，∴ △ ADE ≌ △ CDF ，∴ DE ＝ DF. 6. 如下图，四边形 ABCD 是菱形， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ BC 于 F. 求证： DE ＝ DF. B 课堂导学 知识点 2 ： 菱形的面积 【例 2 】如右图，四边形 ABCD 是菱形，边长为 10 cm ，对角线 AC ， BD 交于 O ，∠ BAD ＝ 60°. (1) 求对角线 AC ， BD 的长； (2) 求菱形的面积． 【解析】利用已知条件易求 BD 的长，再由勾股定理可求出 AO 的长，进而可求对角线 AC 的长，利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积． 课堂导学 (2) 菱形的面积为： × 10 × 10 ＝ 50 (cm2) ． 【答案】解： (1) 在菱形 ABCD 中， AB ＝ AD ＝ 10 cm ，∠ BAD ＝ 60° ， ∴ △ ABD 是等边三角形， ∴ BD ＝ 10 cm ， ∵ AC 平分 ∠BAD ， AC ⊥ BD ， ∴∠ BAC ＝ 30° ， BO ＝ BD ＝ 5 ， 在 Rt △ AOB 中， AO ＝ ＝ 5 ∴ AC ＝ 2AO ＝ 10 (cm) ． 课堂导学 对点训练二 7. 已知一个菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm ，则这个菱形的面积为 __________cm 2 . 8. 菱形的边长为 4 cm ，一个内角为 30° ，则这 个菱形的面积为 __________cm 2 . 24 8 课堂导学 9. 如下图，菱形 ABCD 的周长为 20 cm ，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AC ＝ 8 cm. (1) 求对角线 BD 的长； (2) 求菱形的面积． (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ， AC ⊥ BD ， BO ＝ OD ， AO ＝ OC ， ∵菱形的周长是 20 ， ∴ AD ＝ 5 又 AO ＝ AC ＝ 4 ，∴ DO ＝ 3 ，∴ BD ＝ 6. (2) 菱形的面积为 × 8 × 6 ＝ 24. 课后巩固 10. 在菱形 ABCD 中，下列结论错误的是 ( 　　 ) A ． BO ＝ DO B ．∠ DAC ＝ ∠BAC C ． AC ⊥ BD D ． AO ＝ DO 第 10 、 11 题图 11. 如上图，在菱形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， AC ＝ 8 ， BD ＝ 6 ，则菱形的边长 AB 等于 ( 　　 ) A ． 10 B. C ． 6 D ． 5 D D 课后巩固 12. 如上图，在菱形 ABCD 中， AB ＝ 6 ，∠ ABD ＝ 30° ， 则菱形 ABCD 的面积是 ( 　　 ) A ． 18 B ． 18 C ． 36 D ． 36 13. 在菱形 ABCD 中， AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F ， 且 E 、 F 分别为 BC 、 CD 的中点， 则 ∠EAF 等于 ( 　　 ) A ． 60 ° B ． 55 ° C ． 45 ° D ． 30 ° B A 课后巩固 14. 如上图，在菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝ 82° ， AB 的垂 直平分线交对角线 AC 于点 F ，垂足为 E ，连接 DF ， 则 ∠CDF 等于 ( 　　 ) A ． 67 ° B ． 57 ° C ． 60 ° D ． 87 ° B 课后巩固 15. 如下图，在菱形 ABCD 中，∠ A ＝ 60° ， E 、 F 分别是 AD 、 CD 上的两 点，且 AE ＝ DF. 求证： △ ABE≌ △ DBF. ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ， 又 ∵∠A ＝ 60° ， ∴ △ ABD 和 △ BCD 都是等边三角形， ∴ AB ＝ DB ，∠ A ＝ ∠BDF ＝ 60° ， 又 ∵AE ＝ DF ，∴ △ ABE ≌ △ DBF. 课后巩固 (1) △ OEF 是等腰三角形，理由： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ AD ， AC ⊥ BD ， ∵点 E ， F 分别是边 AB ， AD 的中点， ∴ EO ＝ AD ， OF ＝ AB ，∴ EO ＝ FO ， ∴ △ OEF 是等腰三角形； 16. 如下图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 点 E ， F 分别是边 AB ， AD 的中点． (1) 请判断 △ OEF 的形状，并证明你的结论； (2) 若 AB ＝ 13 ， AC ＝ 10 ，请求出线段 EF 的长． 课后巩固 16. 如下图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 点 E ， F 分别是边 AB ， AD 的中点． (1) 请判断 △ OEF 的形状，并证明你的结论； (2) 若 AB ＝ 13 ， AC ＝ 10 ，请求出线段 EF 的长． (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC ＝ 10, ∴ AO ＝ 5 ，∠ AOB ＝ 90° ， ∴ BO ＝ ＝ 12 ， ∴ BD ＝ 24 ， ∵点 E ， F 分别是边 AB ， AD 的中点， ∴ EF ＝ BD ＝ 12. 课后巩固 (1)∵E 为 AB 的中点， DE ⊥ AB ，∴ AD ＝ DB ， ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ AD ， ∴ AD ＝ DB ＝ AB ， ∴ △ ABD 为等边三角形． ∴∠DAB ＝ 60°. ∵ 菱形 ABCD 的边 AD ∥ BC ， ∴∠ ABC ＝ 180° － ∠DAB ＝ 180° － 60° ＝ 120°.  17. 如下图，在菱形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， E 为 AB 的中点， DE ⊥ AB. (1) 求 ∠ABC 的度数； (2) 如果 AC ＝ 4 ，求 DE 的长． 课后巩固 (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC 于 O ， ∴ AO ＝ AC ＝ 2 ， 由 (1) 可知 DE 和 AO 都是等边 △ ABD 的高， ∴ DE ＝ AO ＝ 2 .  17. 如下图，在菱形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， E 为 AB 的中点， DE ⊥ AB. (1) 求 ∠ABC 的度数； (2) 如果 AC ＝ 4 ，求 DE 的长． 课后巩固 (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD. ∵ CE ∥ BD ， EB ∥ AC ， ∴四边形 OCEB 是平行四边形， ∴四边形 OCEB 是矩形，∴ OE ＝ CB ； 18. 如下图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点， CE ∥ BD ， EB ∥ AC ，连接 OE ，交 BC 于 F. (1) 求证： OE ＝ CB ； (2) 如果 OC∶OB ＝ 1∶2 ， OE ＝，求菱形 ABCD 的面积 . 课后巩固 (2)∵ 由 (1) 知， AC ⊥ BD ， OC ∶ OB ＝ 1∶2 ，∴ BC ＝ OE ＝ 设 OC ＝ x ，则 OB ＝ 2x ，在 Rt △ BOC 中， 由勾股定理得 x 2 ＋ (2x) 2 ＝ ( ) 2 ， 解得 x ＝ 1 ，∴ CO ＝ 1 ， OB ＝ 2. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ＝ 2 ， BD ＝ 4 ，∴菱形 ABCD 的面积是： BD · AC ＝ 4. 18. 如下图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点， CE ∥ BD ， EB ∥ AC ，连接 OE ，交 BC 于 F. (1) 求证 : OE ＝ CB ； (2) 如果 OC:OB ＝ 1:2 ， OE ＝ ，求菱形 ABCD 的面积 . 课后巩固 证明： (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD ＝ CD ，∠ A ＝ ∠C ， ∵ DE ⊥ BA ， DF ⊥ CB ， ∴∠ AED ＝ ∠CFD ＝ 90° ，在 △ ADE 和 △ CDE ， ∵ ， ∴ △ ADE≌ △ CDE ； 19. 在菱形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ，作 DF⊥BC 于点 F ，连接 EF. 求证： (1) △ ADE≌ △ CDF ； (2)∠BEF ＝ ∠BFE. 课后巩固 (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ CB ， ∵ △ ADE ≌ △ CDF ， ∴ AE ＝ CF ， ∴ BE ＝ BF ， ∴∠ BEF ＝ ∠BFE. 19. 在菱形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ，作 DF⊥BC 于点 F ，连接 EF. 求证： (1) △ ADE≌ △ CDF ； (2)∠BEF ＝ ∠BFE. 课后巩固 (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ∥ CD ， ∴∠ 1 ＝ ∠ACD ，∵ MC ＝ MD ， ∴∠ ACD ＝ ∠2 ， ∴∠ 1 ＝ ∠2 ； 20. 如下图，在菱形 ABCD 中，点 M 是对角线 AC 上一点， 且 MC ＝ MD. 连接 DM 并延长，交边 BC 于点 F. (1) 求证： ∠1 ＝ ∠2 ； (2) 若 DF⊥BC ，求证：点 F 是边 BC 的中点． 课后巩固 20. 如下图，在菱形 ABCD 中，点 M 是对角线 AC 上一点， 且 MC ＝ MD. 连接 DM 并延长，交边 BC 于点 F. (1) 求证： ∠1 ＝ ∠2 ； (2) 若 DF⊥BC ，求证：点 F 是边 BC 的中点． (2) 连接 BD ，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ ACB ＝ ∠ACD ， BC ＝ CD ， ∵∠ ACD ＝ ∠2 ，∴∠ ACB ＝ ∠ACD ＝ ∠2, ∵ DF ⊥ BC ，∴ 3 ∠ 2 ＝ 90° ，∴ ∠2 ＝ 30°, ∴∠ BCD ＝ ∠ACB ＋ ∠ACD ＝ 60° ， ∴ △ BCD 是等边三角形，∴ BF ＝ CF ， 即点 F 是边 BC 的中点． 能力培优 (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ BC ， ∵∠ ABC ＝ 60° ，∴ △ ABC 为等边三角形， ∵点 F 是 AC 边的中点， AB ＝ 4 ， ∴ AF ＝ 2 ， BF ⊥ AC ， BF ＝ ＝ ＝ 2. 21. 如下图，菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 60° ， E 是 BC 延 长线上的一点， F 是对角线 AC 上的一点， AF ＝ CE ，连接 BF 、 EF. (1) 若 AB ＝ 4 ，点 F 是 AC 边的中点，求 BF 的长； (2) 若点 F 是 AC 边上的任意一点 ( 不与点 A 、 C 重合 ) ， 求证： BF ＝ EF. 能力培优 (2) 过点 F 作 FG ∥ BC ，交 AB 于点 G ， ∵ △ ABC 是等边三角形， ∴ AB ＝ AC ，∠ ACB ＝ 60° 又 ∵FG ∥ BC ，∴∠ AGF ＝ ∠ABC ＝ 60° ， ∵∠ BAC ＝ 60° ， ∴ △ AGF 是等边三角形， ∴ AG ＝ AF ＝ CF ，∴ BG ＝ CF ， 又 ∵CE ＝ AF ，∴ GF ＝ CE ，∵∠ BGF ＝ ∠ECF ＝ 120° ， ∴ △ BGEF ≌ △ FCE ，∴ BF ＝ EF. (2) 若点 F 是 AC 边上的任意一点 ( 不与点 A 、 C 重合 ) ， 求证： BF ＝ EF. 能力培优 22.(2017· 广东 ) 如下图所示，已知四边形 ABCD ， ADEF 都是菱形，∠ BAD ＝ ∠FAD ， ∠ BAD 为锐角． (1) 求证： AD⊥BF ； (2) 若 BF ＝ BC ，求 ∠ADC 的度数． 能力培优 (1) 证明：如下图，连结 DB 、 DF. ∵四边形 ABCD ， ADEF 都是菱形， ∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ， AD ＝ DE ＝ EF ＝ FA. 在 △ BAD 与 △ FAD 中， ， ∴ △ BAD ≌ △ FAD ，∴ DB ＝ DF ， ∴ D 在线段 BF 的垂直平分线上，∵ AB ＝ AF ， ∴ A 在线段 BF 的垂直平分线上， ∴ AD 是线段 BF 的垂直平分线，∴ AD ⊥ BF ； 能力培优 (2) 如下图，设 AD⊥BF 于 H ，作 DG⊥BC 于 G ， 则四边形 BGDH 是矩形， ∴ DG ＝ BH ＝ BF. ∵ BF ＝ BC ， BC ＝ CD ， ∴ DG ＝ CD. 在直角 △ CDG 中， ∵∠ CGD ＝ 90° ， DG ＝ CD ， ∴∠ C ＝ 30° ， ∵ BC ∥ AD ， ∴∠ ADC ＝ 180° － ∠C ＝ 150°. 感谢聆听