冀教版九年级数学下册《30.4（第1课时）抛物线形问题》课件.pptx

30.4 二次函数的应用 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 抛物线形问题 第三十章 二次函数 学习目标 1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． ( 重点 ) 2. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． ( 重、难点 ) 导入新课 问题引入 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 米，水面宽是 4 米时，拱顶离水面 2 米 . 现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化． 你能想出办法来吗？ 讲授新课 利用二次函数解决实物抛物线形问题 一 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能想出办法来吗？ 合作探究 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（ 0.0 ），因此这个二次函数的形式为 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定 a 是多少？ 已知水面宽 4 米时，拱顶离水面高 2 米，因此点 A （ 2 ， -2 ）在抛物线上，由此得出 因此， ，其中 ｜ x ｜是水面宽度的一半， y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 由于拱桥的跨度为 4.9 米，因此自变量 x 的取值范围是： 水面宽 3m 时 从而 因此拱顶离水面高 1.125m 现在你能求出水面宽 3 米时，拱顶离水面高多少米吗？ 知识要点 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 例 1 某公 园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA ， O 恰在水面中心， OA =1.25m ，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少 m 才能使喷出的水流不致落到池外？ 典例精析 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意得， A 点坐标为 (0 ， 1.25) ，顶点 B 坐标为 (1 ， 2.25). 数学化 ● B (1,2.25) (0,1.25) ● C ● D o A x y 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5m ，才能使喷出的水流不致落到池外 . 当 y =0 时 , 可求得点 C 的坐标为 (2.5,0) ; 同理，点 D 的坐标为 (-2.5,0) . 设抛物线为 y = a ( x + h ) 2 + k ，由待定系数法可求得抛物线表达式为： y = － ( x -1) 2 +2.25. ● B (1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 利用二次函数解决运动中抛物线型问题 二 例 2 ： 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4m （水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5m ，如果篮圈中心距离地面 3.05m ，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 解：如图，建立直角坐标系 . 则点 A 的坐标是（ 1.5，3.05 ），篮球在最大高度时的位置为 B （ 0，3.5 ） . 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 解得 a = － 0.2 ， k=3.5 ， 设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = a ( x -0) 2 + k ， 即 y = ax 2 + k . 而点 A ， B 在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为 y = － 0.2 x 2 +3.5. 当 x=－ 2.5 时 ， y =2.25 . 故该运动员出手时的高度为 2.25 m . 2.25 a+k=3.05 ， k=3.5 ， x y O 拱桥问题 三 问题 1 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m . 水面下降 1m ，水面宽度增加多少？ 互动探究 （ 1 ）求宽度增加多少需要什么数据？ （ 2 ）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （ 3 ）如何求这组数据？需要先求什么？ （ 4 ）图中还知道什么？ （ 5 ）怎样求抛物线对应的函数的解析式？ 想一想 　　 问题 2 如何建立直角坐标系？ l 　 　问题 3 解决本题的关键是什么？ y x o 解：如图建立直角坐标系 . 解：建立合适的直角坐标系 . l y x o 解：如图建立直角坐标系 . 根据题意可设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax 2 +2. ∵ 该抛物线过 (2,0), ∴0=4 a +2 ， a = ∵水面下降 1m ，即当 y = - 1 时， ∴ 水面宽度增加了 米 . 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m ，拱顶距离水面 4 m ．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式； O A C D B y x 20 m h 解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax 2 . ∵ 该抛物线过 (10,-4), ∴-4=100 a ， a =-0.04 ∴ y =-0.04 x 2. 练一练 利用二次函数解决实物抛物线形问题 四 例 3 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m , 水面宽 4 m , 为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m , 问此时水面宽度增加多少 ? x y O -3 (-2,-2) ● ● (2,-2) 4 米 当 时， 所以，水面下降 1 m ，水面的宽度为 m . 所以水面的宽度增加了 　　 m. 解：建立如图所示坐标系 , 由抛物线经过点（ 2 ， -2 ），可得 所以，这条抛物线的解析式为 当水面下降 1m 时，水面的纵坐标为 -3 x y O (-2,-2) ● ● (2,-2) 设二次函数解析式为 x y x y 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m , 水面宽 4 m, 为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m , 问此时水面宽度增加多少 ? 4 m 4 m 请同学们分别求出对应的函数解析式 . O O 解：设 y = - ax 2 +2 将（ - 2,0 ）代入得 a = ∴ y = +2 ； 设 y = - a （ x-2 ） 2 +2 将（ 0,0 ）代入得 a = ∴ y = +2 ； 当堂练习 1. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h ( m ) 可用公式 h = - 4.9 t 2 + 19.6 t 来表示，其中 t ( s ) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地 . 4 2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度 y ( 米）关于水平距离 x ( 米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米 . x y O 2 3. 公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA ， O 点恰在水面中心， OA =1.25 米，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下 . 为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 米处达到距水面最大高度 2.25 米 . 如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？ O A 1.25 米 O B C A 解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为 B ，水流落水与 x 轴交于 C 点 . 由题意可知 A （ 0 ， 1.25 ）、 B （ 1 ， 2.25 ）、 C （ x 0 ， 0 ） . x y 设抛物线为 y = a ( x － 1) 2 +2.25 ( a ≠0), 点 A 坐标代入，得 a = － 1 ； 当 y = 0 时， x １ = － 0.5 （舍去）， x ２ =2.5 ∴ 水池的半径至少要 2.5 米 . ∴ 抛物线为 y =-( x -1) 2 +2.25. 1.25 课堂小结 实际问题 数学模型 转化 回归 （二次函数的图像和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法 .