2017春华师大九年级下27.1.3圆周角（1）课件（共33张ppt）.ppt

27.1.3 圆周角 一、旧知回放 : 1. 圆心角的定义 ? . O B C 答： 相等 . 答 : 顶点在圆心的角叫圆心角 . 2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 ? B 3 、下列命题是真命题的是 ( ) 1) 垂直弦的直径平分这条弦 2) 相等的圆心角所对的弧相等 3) 圆既是轴对称图形 , 还是中心对称图形 A 1) 2) B 1) 3) C 2) 3) D 1) 2) 3) 课前热身 4 、如图，⊙ O 中，∠ AOB=100º ，则 AB 弧的度数为 ______ ， AnB 弧的度数为 ______ 。 A O B   n 100º 260º √ × × × × 5 、判断题： (1) 相等的圆心角所对的弧相等 。 (2) 等弦对等弧 。 (3) 等弧对等弦 。 (4) 长度相等的两条弧是等弧 。 (5) 平分弦的直径垂直于弦 。 圆心角顶点发生变化时 , 我们得到几种情况 ? 探索 1: 二、探索新知： A . O B C . 思考：三个图中的∠ BAC 的顶点 A 各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？ . . A O B C . O B C A . 探索 : 你能仿照圆心角的定义给 圆周角 下个定义吗 ? . O B C A 特征： ① 角的顶点在圆上 . ② 角的两边都与圆相交 . 圆周角定义 : 顶点在圆上 , 并且两边都和圆相交的角叫圆周角 . 练习： 1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 不是 不是 是 不是 不是 图１ 图２ 图３ 图４ 图５ 2 、指出图中的圆周角。 A O B C ∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC 思考： 问题： 画一个圆，以 A 、 C 为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？ 为了解决这个问题 , 我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系 . 类比圆心角 探知 圆周角 在 同圆 或 等圆 中 , 相等的 弧 所对的 圆心角 相等 . 在 同圆 或 等圆 中 , 相等的 弧 所对的 圆周角 有什么关系？ ● O ● O ● O A B C A B C A B C 提示 : 注意 圆心 与 圆周角 的位置关系 . 如图 , 观察 弧 AC 所对的 圆 周 角 ∠ ABC 与 圆 心 角 ∠ AOC , 它们的大小有什么关系 ? 说说你的想法 , 并与同伴交流 . 提示 : 注意 圆心 与 圆周角 的位置关系 . A B C ● O A B C ● O ● O A B C 圆周角 和 圆心角 的关系 圆周角 和 圆心角 的关系 1 . 首先考虑一种特殊情况： 当 圆心 (O) 在 圆周角 (∠ABC) 的一边 (BC) 上时 , 圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC 的大小关系 . 解 :∵∠AOC 是△ ABO 的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB ， ● O A B C ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即∠ ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗 ? 一条弧所对的 圆周角 等于它所对的 圆心角 的一半 . 理解并掌握这个 模型 . 如果圆心不在圆周角的一边上 , 结果会怎样 ? 2. 当 圆心 (O) 在 圆周角 (∠ABC) 的内部时 , 圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC 的大小关系会怎样 ? 提示 : 能否转化为 1 的情况 ? 过点 B 作直径 BD. 由 1 可得 : 你能写出这个命题吗 ? 一条弧所对的 圆周角 等于它所对的 圆心角 的一半 . ● O A B C D 圆周角 和 圆心角 的关系 ∴ ∠ABC = ∠AOC. ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 如果圆心不在圆周角的一边上 , 结果会怎样 ? 3. 当 圆心 (O) 在 圆周角 (∠ABC) 的外部时 , 圆周角∠ ABC 与圆心角∠ AOC 的大小关系会怎样 ? 提示 : 能否也转化为 1 的情况 ? 过点 B 作直径 BD. 由 1 可得 : ∴ ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗 ? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . D ● O A B C 圆周角 和 圆心角 的关系 ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 圆周角 定理 综上所述 , 圆周角 ∠ ABC 与 圆心角 ∠ AOC 的大小关系是 : 圆周角定理 : 一条弧所对的 圆周角 等于它所对 的 圆心角 的一半 . 提示 : 圆周角定理是承上启下的知识点 , 要予以重视 . ● O A B C ● O A B C ● O A B C 即 ∠ ABC =∠AOC. D D 圆心在角的边 上 圆心在角 外 圆心在角 内 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 归 纳 2 、如图，在⊙ O 中，若弧 AB 等于弧 EF ，能否得到∠ C = ∠G 呢？ 可以得到 ∠ C=∠G ∵ 同圆中，等弧所对的圆周角相等。 用于找相等的弧 用于找相等的角 探 究 同弧或等弧 所对的 圆周角 相等； 同圆或等圆中 ，相等的圆周角所对的弧也相等。 例 1. 如图： OA 、 OB 、 OC 都是 ⊙ O 的半径 ∠ AOB=2∠BOC. 求证：∠ ACB=2∠BAC. ∠AOB=2∠BOC A O B C ∠ACB=2∠BAC 证明： 规律 : 解决圆周角和圆心角的计算和证明问题 , 要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角 , 然后再灵活运用圆周角定理 ⌒ 分析 :AB 所对圆周角是∠ ACB, 圆心角是∠ AOB. 则 ∠ ACB= ∠AOB. BC 所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠ BOC, 则∠ BAC= ∠BOC ⌒ ∠ACB= ∠AOB ∠BAC= ∠BOC 练习： 2. 如图，圆心角∠ AOB=100° ，则∠ ACB=___ 。 O A B C B A O . 70° x 1. 求圆中角 X 的度数 130° A O . X 120° C C D B 3 、 如图，在直径为 AB 的半圆中， O 为圆心， C 、 D 为半圆上的两点，∠ COD=50 0 ，则∠ CAD=_________ 25 º 做做看，收获知多少？ 一、判断 1 、顶点在圆上的角叫圆周角。 2 、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。 × √ . O 36 º 或 144° 2 、 如图，已知圆心角∠ AOB=100° ，求圆周角 ∠ ACB=_____ 、∠ ADB=______ 。 D A O C B 1 、半径为 R 的圆中，有一弦分圆周成 1 ： 4 两部分，则弦所对的圆周角的度数是 。 二、计算 130 º 50 º · A B C 1 O C 2 C 3 圆周角定理及推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 定 理 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 ; 90° 的圆周角所对的弦是直径． 推 论 一 、这节课主要学习了两个知识点： 1 、圆周角定义。 2 、圆周角定理及其定理应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。 总结扩展： 三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用。 1 、判断： （ 1 ）等弧所对的圆周角相等 . （ ） （ 2 ）相等的圆周角所对的弧也相等 . （ ） （ 3 ） 90 。 的角所对的弦是直径。 （ ） （ 4 ）同弦所对的圆周角相等。 （ ） √ X X X O A B C 巩 固 练 习 5 、如图，在⊙ O 中， BC=2DE ， ∠ BOC=84° ，求 ∠ A 的度数 。 ⌒ ⌒ 4 、 AB 、 AC 为⊙ O 的两条弦，延长 CA 到 D ，使 AD=AB ，如果∠ ADB=35º ，求∠ BOC 的度数。 解 ∵ AB=AC ∴∠ABD=∠ADB=35º ∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=70º ∴∠BOC=2∠BAC=140º 解 : 连接 CD ∵∠BOC=84º∴∠BAD= ∠BOC=42º ∵BC=2DE∴DE 为 42º 的弧 ∴∠ DCE=42º× =21º ∴∠A=∠BDC-∠DCE=42º-21º=21º ⌒ ⌒ ⌒ 2. 如图 (2), 在⊙ O 中 ,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系 ? 为什么 ? 3. 如图 (3),AB 是直径 , 你能确定∠ C 的度数吗 ? 拓展 化 心 动为 行 动 1. 如图 (1), 在⊙ O 中 , ∠ BA D =50°, 求∠ C 的大小 . ● O C A B D (1) ● O B A C D E (2) ● O A B C (3) ∠B=∠D=∠E ∠C=130º ∠C=90º 半圆 （或 直径 ）所对的圆周角是 直角 ， 90 o 的圆周角所对的弦是直径。 归 纳 如图 , ⊙O 的直径 AB 为 10cm, 弦 AC 为 6cm, ∠ ACB 的平分线交⊙ O 于 D, 求 BC 、 BD 的长 2 、如图， AD 是△ ABC 的高， AE 是△ ABC 的外接圆直径。求证： AB · AC = AE · AD A O B C D E 分析： 要证 AB · AC = AE · AD 则证△ ADC∽ △ABE 或△ ACE∽ △ADB 即可 . 即要证 小结： 思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想． 分类时应作到不重不漏； 化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题． 结束寄语 盛年不重来 , 一日难再晨 , 及时宜自勉 , 岁月不待人 . 下课了 ! 再见 例 4: 一个圆形人工湖 , 弦 AB 是湖上的一座桥 , 已知桥 AB 长 100m. 测得圆周角∠ C=45° 求这个人工湖的直径 . A B C 例 4: 一个圆形人工湖 , 弦 AB 是湖上的一座桥 , 已知桥 AB 长 100m. 测得圆周角∠ C=45° 求这个人工湖的直径 . A B C D 圆周角 在射门游戏中 ( 如图 ), 球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B 对球门 AC 的张角 (∠ABC) 有关 . ● O B A C B A C 思考：图中的∠ ABC 的顶点 B 在圆的什么位置？∠ ABC 的两边和圆是什么关系？ 圆周角 圆周角 : ∠ABC, ∠ADC, ∠AEC. 这三个角的大小有什么关系 ?. 圆周角 当球员在 B,D,E 处射门时 , 他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ ABC, ∠ADC,∠AEC. 这三个角的大小有什么关系 ?. ● O B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E D E