3.1.docx

第三 章 图形 的平移与旋转 1. 图形的平移 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 　 平移的概念 在平面内 , 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 , 这样的图形运动称为平移 . 平移不改变图形的形状和大小 . 拓展归纳 平移是图形变换的一种基本形式 , 在平移过程中 , 不改变图形的形状与大小 , 只是位置发生了改变 . 图形平移实质上是同一个平面内 , 图形上每一个点都沿同一个方向移动相同的距离 . 图形平移的两个因素 : 平移的方向和平移的距离 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 1 　 如图 , 在 5 × 5 方格纸中 , 将图 ① 中的三角形甲平移到图 ② 中所示的位置 , 与三角形乙拼成一个矩形 , 那么下面的平移方法中正确的是 ( 　　 ) 图 ① 图 ② A. 先向下平移 3 格 , 再向右平移 1 格 B. 先向下平移 2 格 , 再向右平移 1 格 C. 先向下平移 2 格 , 再向右平移 2 格 D. 先向下平移 3 格 , 再向右平移 2 格 知识点一 知识点二 知识点三 解析 : 对照 图 ② 中 “ 甲 ” 的位置 , 可以在图 ① 中先将 “ 甲 ” 向下平移 3 格 , 再向右平移 2 格 , 即可得到图 ② 中 “ 甲 ” 的位置 . 答案 : D 知识点一 知识点二 知识点三 知识点二 　 平移的性质 一个图形和它经过平移所得的图形中 , 对应点所连的线段平行 ( 或在一条直线上 ) 且相等 ; 对应线段平行 ( 或在一条直线上 ) 且相等 , 对应角相等 . 拓展归纳 由平移后的图形与原图形比较 , 可以得出 : 平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等 , 对应角相等 , 图形的形状与大小都没有发生变化 . 在平移过程中 , 对应线段有时平行 , 有时还可能在一条直线上 , 对应点所连的线段平行且相等 , 有时对应点的连线也可能会在一条直线上 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 2 　 如图 , △ ABC 沿射线 xy 方向平移一定距离到 △ A'B'C' , 请利用平移的相关知识找出图中相等的线段、角和全等的三角形 , 并予以解释 . 分析 : 根据平移的性质可以得到 , 找出对应线段、对应角 , 明确对应的点及其连线 . 由此即可确定相等的线段、相等的角 . 知识点一 知识点二 知识点三 解 : 相等 的线段 : AB=A'B' , BC=B'C' , AC=A'C' ( 平移运动中 , 对应线段分别相等 ); AA'=BB'=CC' ( 平移运动中 , 对应点的连线平行且相等 ) . 相等的角 : ∠ BAC= ∠ B'A'C' , ∠ ABC= ∠ A'B'C' , ∠ ACB= ∠ A'C'B' ( 平移运动中 , 对应角分别相等 ) . △ ABC ≌ △ A'B'C' ( 平移运动不改变图形的形状和大小 ) . 知识点一 知识点二 知识点三 例 3 　 如图 , 已知 △ ABC , 点 D 是 △ ABC 平移后点 A 的对应点 , 请作出平移后的 △ DEF . 分析 : 连接 AD , 则根据平移运动中对应点的连线平行且相等 , 射线 AD 的方向即为平移方向 , 线段 AD 的长度即为平移距离 , 从而可以平移整个三角形 . 知识点一 知识点二 知识点三 作法 : 如 图所示 ,(1) 连接并延长 AD ( 找到平移方向 , 平移距离 ) . ( 2) 过 B , C 两点分别作 BE , CF 平行于 AD ( 找到关键点 , 并作出它们的平移方向 ) . (3) 分别在 BE , CF 上截取 BE=AD , CF=AD ( 截取平移距离 , 找到关键点的平移对应点 ) . (4) 连接 D , E , F ( 连接关键点的对应点 , 构成平移图形 ) . (5) △ DEF 即为所求 ( 写出结论 ) . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 知识点二 知识点三 知识点三 　 平移与坐标 在直角坐标系中 , 一个图形依次沿 x 轴方向、 y 轴方向平移后所得图形 , 可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的 . 拓展归纳 坐标系中图形的平移规律 : 在平面直角坐标系中 , 如果把一个图形的各点的横坐标都加或减一个正数 a , 得到的图形就是把原图形向右或向左平移 a 个单位长度 ; 如果把一个图形的各点的纵坐标都加或减一个正数 b , 得到的图形就是把原图形向上或向下平移 b 个单位长度 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 4 　 如图 , 把图 ① 中的 △ ABC 经过一定的变换得到图 ② 中的 △ A'B'C' , 如果图 ① 中 △ ABC 上点 P 的坐标为 ( a , b ), 那么这个点在图 ② 中的对应点 P' 的坐标为 ( 　　 ) ① ② A.( a- 2, b- 3) B.( a- 3, b- 2) C.( a+ 3, b+ 2) D.( a+ 2, b+ 3) 知识点一 知识点二 知识点三 解析 : 由 给出的图形知 , 原三角形向右平移了 3 个单位 , 向上平移了 2 个单位 , 所以点 P 的坐标也作了相应的平移 , 得到 P' ( a+ 3, b+ 2) . 答案 : C 拓展点 拓展点 　 在直角坐标系中的平移作图 例题 　 将图中的 △ ABC 作下列运动 , 作出相应的图形 , 并写出变化后的各个图形顶点的坐标 . (1) 将 △ ABC 向左平移 2 个单位长度 ; (2) 将 △ ABC 向下平移 3 个单位长度 . 分析 : 图形向左平移 2 个单位长度 , 点的横坐标减 2, 纵坐标不变 ; 图形向下平移 3 个单位长度 , 点的横坐标不变 , 纵坐标减 3 . 拓展点 解 : 如 图所示 . (1) 将 △ ABC 向左平移 2 个单位长度得到 △ A 1 B 1 C 1 . A (2,3), B (1,1), C (5,1) 平移后 , A 1 (0,3), B 1 ( - 1,1), C 1 (3,1) . (2) 将 △ ABC 向下平移 3 个单位长度 , 得到 △ A 2 B 2 C 2 . A (2,3), B (1,1), C (5,1) 平移后 , A 2 (2,0), B 2 (1, - 2), C 2 (5, - 2) . 拓展点 P65 做一做 答案 (1) 任意一组对应线段的关系是平行且相等 ; (2) 任意一组对应角的关系是相等 ; (3) 对应点所连成的线段平行且相等 . P67 想一想 答案 还可以这样作出图中的 △ DEF : 过点 D 分别作出与 AB , AC 平行且相等的线段 DE , DF , 连接 EF , △ DEF 就是所要求作的三角形 . P67 随堂练习 能 ; 不能 习题 3 . 1 1 . 解 有多种作法 : 作法一 : 如图 (1), 分别过点 E , F , 作出与 AC , BC 平行的射线 EM , FN , 两条射线相交于点 G , △ EFG 就是要求作的三角形 . 作法二 : 如图 (2), 同作法一的思路 , 作与 △ ABC 全等的 △ EFG , 分别以 E , F 为圆心 , 以线段 AC , BC 的长为半径画圆弧 , 两弧交于点 G , 连接 EG , FG , 则 △ EFG 即为所求 . 作法三 : 如图 (3), 连接线段 AE , 过点 C 按照线段 AE 的方向作射线 CM , 使 CM ∥ AE , 并截取 CG=AE , 则连接点 E , F , G 所得的 △ EFG 就是所求作的三角形 . 2 . 解 如图所示 , 按照箭头所示方向移动 3 cm, 其他几个关键点也进行相同的平移 , 再按原来的方式相连 , 即可得平移后的字母 A. 3 . 解 如图所示 , 按照线段 AF 的方向和长度 , 分别确定五边形的其他几个顶点平移后的位置 , 按原来的方式连接相应各点 , 所得图形即为平移后的图形 . 4 . 答案 不是平移 , 因为平移时 , 对应点所连线段应平行 ( 或在一条直线上 ) 且相等 , 而本题中四条腿移动的距离不相等 , 故不是平移 . 5 . 解 如图所示 . P69 想一想 答案 平移后的 “ 鱼 ” 与平移前的 “ 鱼 ” 相比 , 对应点的横坐标不变 , 纵坐标分别增加了 3; 平移后的 “ 鱼 ” 与平移前的 “ 鱼 ” 相比 , 对应点的横坐标不变 , 纵坐标分别减小了 2 . P69 做一做 答案 (1) 新 “ 鱼 ” 与原来的 “ 鱼 ” 相比 , 形状和大小都没有改变 , 只是沿 x 轴向右平移了 3 个单位长度 ; 若纵坐标不变 , 横坐标分别减 2, 则形状和大小都没改变 , 只是沿 x 轴向左平移了 2 个单位长度 . (2) 形状和大小都没有改变 , 只是沿 y 轴向上平移了 3 个单位长度 ; 形状和大小都没有改变 , 只是沿 y 轴向下平移了 2 个单位长度 . P69 议一议 答案 平移后的图形与原图形相比 , 各对应点的横坐标分别增加 ( 或减少 ) 了 a 个单位长度 , 纵坐标不变 ; 平移后的图形与原图形相比 , 各对应点的纵坐标增加 ( 或减少 ) 了 a 个单位长度 , 横坐标不变 . P70 随堂练习 1 . 解 (1) A 1 (6,3); B 1 (3,0); C 1 (6, - 3); D 1 (9,0) . (2) A 2 (6,9); B 2 (3,6); C 2 (6,3); D 2 (9,6) . 2 . 解 (1) 四边形 A 2 B 2 C 2 D 2 向左平移 4 个单位长度得到四边形 A 3 B 3 C 3 D 3 . (2) 四边形 A 3 B 3 C 3 D 3 向下平移 4 个单位长度得到四边形 A 4 B 4 C 4 D 4 . 习题 3 . 2 1 . 解 新图形是由原图形向右平移 3 个单位长度得到的 ; 新图形是由原图形向上平移 3 个单位长度得到的 . 2 . 解 原图形向下平移 3 个单位长度得到各点的坐标为 (0,0),(1, - 2),(3, - 3),(1, - 4),(0, - 6),( - 1, - 4),( - 3, - 3),( - 1, - 2),(0,0) . 原图形向左平移 3 个单位长度得坐标为 ( - 3,3),( - 2,1),(0,0),( - 2, - 1),( - 3, - 3),( - 4, - 1),( - 6,0),( - 4,1),( - 3,3) . 3 . 解 (1) 顺时针依次是 :(7, - 2),(6, - 2),(6, - 4),(2, - 4),(2, - 2),(1, - 2) . (2) 图 (1) 中点的横坐标不变 , 纵坐标减 5 得到图 (2) 中的对应点坐标 . 图 (1) 的图形向下移动 5 个单位长度得到图 (2) . (3) 图 (1) 中点的纵坐标不变 , 横坐标都减去 8, 得到图 (3) 中各点的坐标 . 它由图 (1) 向左移动 8 个单位长度而得 . 4 . 解 可能 ; 不可能 . P72 做一做 答案 “ 鱼 ” H 是由 “ 鱼 ” F 沿 x 轴向右平移 2 个单位长度 , 再沿 y 轴向上平移 3 个单位长度得到的 , 可以将 “ 鱼 ” H 看成是由原来的 “ 鱼 ” F 经过一次平移得到的 ; 若横坐标分别加 2 、纵坐标分别减 3, 则 “ 鱼 ” F 将沿 x 轴方向向右平移 2 个单位长度 , 再沿 y 轴向下平移 3 个单位长度 , 新得到的 “ 鱼 ” 同样可以看成是由原来的 “ 鱼 ” F 经过一次平移得到的 . P72 议一议 答案 可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的 ; 它们对应点之间的关系为 : 若图形依次沿 x 轴方向向右 ( 左 ) 平移 a ( a> 0) 个单位长度 , 再沿 y 轴方向向上 ( 下 ) 平移 b ( b> 0) 个单位长度 , 则新图形与原来的图形相比 , 对应点的横坐标都增加 ( 减小 ) 了 a , 纵坐标都增加 ( 减小 ) 了 b. P73 随堂练习 解 (1) 图略 (2) 图略 (3) 将 (1) 中所得图形沿 AA' 方向平移 13 个单位长度即可得到 (2) 中所得图形 . (1) 中所画图形各点的横坐标减去 12, 纵坐标加上 5, 即可得到 (2) 中所画图形各点的坐标 . 习题 3 . 3 1 . 解 (1) 图略 (2) 图略 (3) 将 (1) 中所画图形沿 AA' 方向平移 10 个 单位长度得到 (2) 中所画图形 ,(1) 中所画图形各点的横坐标都加 10, 纵坐标都减 10 能得到 (2) 中所画图形各点的坐标 . 2 . 解 顶点 A 的对应顶点坐标为 (3,4), 顶点 B 的对应顶点坐标为 (7,4), 顶点 C 的对应顶点坐标为 (5,1), 顶点 D 的对应顶点坐标为 (1,1) . 3 . 解 B' (7,1), C' (9,4), D' (11,4), E' (13,7 ) . 4 . 解 图 (1) 中各 “ 顶点 ” 横坐标都减 5, 纵坐标都加 4, 就得到图 (2) 中各 “ 顶点 ” 的坐标 . 图 (1) 先向左平移 5 个单位长度 , 再向上平移 4 个单位长度即可得到图 (2) . 5 . 解 (1) 不正确 . (2) 若 A' 正确 , 则 B' ( - 1, - 3), C' (1, - 3); 若 B' 正确 , 则 A' ( - 1,0), C' (0, - 3); 若 C' 正确 , 则 A' (1,0), B' (0, - 3) .