第六章　平行四边形.docx

八年级数学 · 下 新课标 [ 北师 ] 第 六 章 平行四边形 学习新知 检测反馈 平行四边形的判定 （第 2 课时） 学 习 新 知 问题思考 (1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 . (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 . (3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . 1 . 平行四边形的定义是什么 ? 2 . 判定四边形是平行四边形的方法有哪些 ? 【 活动 】 工具 : 两根不同长度的细木条 . 动手 : 能否合理摆放这两根细木条 , 使得连接四个顶点后成为平行四边形 ? 【 思考 1】 　 你能说明你得到的四边形是平行四边形吗 ? 已知 : 如图所示 , 四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O , 并且 OA = OC , OB = OD. 求证 : 四边形 ABCD 是平行四边形 . 〔 解析 〕 　 目前我们证明一个四边形是平行四边形有三个基本思路 : 定义、两组对边分别相等和一组对边平行且相等 . 根据本题的条件 , 我们能够通过三角形的全等 , 证明出线段 AD 和 BC , AB 和 CD 分别相等 ; 也能证明出 AD 与 BC 平行 , AB 与 CD 平行 . 证明 : ∵ OA = OC , OB = OD , 且∠ AOB =∠ COD , ∴△ AOB ≌△ COD , ∴ AB = CD. 同理可得 : BC = AD , ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 平行四边形的判定定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 【 思考 2】 　 以上活动事实能用文字语言表达吗 ? ( 教材例 2) 已知 : 如图 (1) 所示 , E , F 是 □ ABCD 对角线 AC 上的两点 , 且 AE = CF. 求证 : 四边形 BFDE 是平行四边形 . 〔 解析 〕 　 本例综合应用了涉及对角线的性质定理和判定定理 . 初看起来在四边形 BFDE 内既找不到等量关系 , 也找不到平行关系 , 这就需要我们利用题中给出的条件 , 构造出可以为证明服务的相等或平行的条件 . 通过观察 , 线段 BD 是四边形 ABCD 和四边形 BFDE 共同的对角线 , 连接 BD 后还可以间接利用到四边形 ABCD 的另一条对角线 . 证明 : 如图 (2) 所示 , 连接 BD , 交 AC 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OA = OC , OB = OD ( 平行四边形的对角线互相平分 ) . ∵ AE = CF , ∴ OA - AE = OC - CF , 即 OE = OF. ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 ( 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ) . 变式练习 : 对于上述例题 , 若 E , F 继续移动至 OA , OC 的延长线上 , 仍使 AE = CF ( 如图所示 ), 则结论还成立吗 ? 请说明理由 . 解 : 结论成立 . 理由 :∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OA = OC , OB = OD. ∵ AE = CF , ∴ OA + AE = OC + CF , 即 OE = OF. ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 . 想一想 (1) 分别过点 A , C 作 BC , BA 的平行线 , 两平行线相交于点 D , 连接 AD , CD , 则四边形 ABCD 即为原来的平行四边形 . 如图所示 , 有一块平行四边形玻璃镜片 , 不小心打掉了一块 , 但是有两条边是完好的 . 同学们想想看 , 有没有办法把原来的平行四边形重新画出来 ? (2) 分别以点 A , C 为圆心 , 以 BC , BA 的长为半径画弧 , 两弧相交于点 D , 连接 AD , CD , 则四边形 ABCD 即为原来的平行四边形 . （ 3 ） 连接 AC , 取 AC 的中点 O , 再连接 BO , 并延长 BO 到 D , 使 DO = BO , 连接 AD , CD , 则四边形 ABCD 即为原来的平行四边形 . [ 知识拓展 ] 　 判定平行四边形时常用的反例 . (1) 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 . (✕) 反例 : 如图 (1) 所示 , AD ∥ BC , AB = CD , 这是一个两腰相等的梯形而不是平行四边形 . 反例 : 如图 (2) 所示 , 等腰三角形 ABC 中 , 点 D 是 BC 上的点 , 且 CD < BC , 将△ ADC 剪下 , 拼成如图 (3) 所示的图形 , 则四边形 ABDC 虽满足“一组对边相等且一组对角相等” , 但显然不是平行四边形 . (2) 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 . (✕) 反例 : 如图 (4) 所示 , 三角形 ABC 中 , AB = AC , 在 AC 上取点 E , 在 AB 延长线上取点 D , 使得 BD = EC , 那么四边形 BDCE 即为符合“一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”的反例 . 证明 : 如图 (4) 所示 , 过 E 作 EF ∥ BD 交 BC 于点 F , 连接 DF , 则∠ EFC =∠ ABC , 由 AB = AC , 得∠ ABC =∠ EFC =∠ ACB ,∴ EF = EC ,∴ 四边形 BDFE 是平行四边形 ,∴ DM = EM. (3) 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 . (✕) 反例 : 如图 (5) 所示 , 四边形 ABCD 中 , OA = OC , 且 AC ⊥ BD , 则∠ BAD =∠ BCD , 且 BD 平分 AC , 但四边形 ABCD 不是平行四边形 . (4) 一组对角相等 , 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 . (✕) 检测反馈 1 . 判断下列说法是否正确 . (1) 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 . ( 　　 ) (2) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 . ( 　　 ) (3) 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 . ( 　　 ) (4) 一组对边平行且一组邻角互补的四边形是平行四边形 . ( 　　 ) ✕ √ √ ✕ 2 . 在四边形 ABCD 中 , 对角线 AC , BD 相交于点 O , 给出下列四个条件 :① AD ∥ BC ;② AD = BC ;③ OA = OC ;④ OB = OD. 从中任选两个条件 , 能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有 ( 　　 ) A .3 种 B .4 种 C .5 种 D .6 种 解析 : ①② 组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 , 判定出四边形 ABCD 为平行四边形 ;③④ 组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形 , 判定出四边形 ABCD 为平行四边形 ;①③ 组合可证明△ ADO ≌△ CBO , 进而得到 AD = CB , 可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 , 判定出四边形 ABCD 为平行四边形 ;①④ 组合可证明△ ADO ≌△ CBO , 进而得到 AD = CB , 可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 , 判定出四边形 ABCD 为平行四边形 . 故选 B . B 3 . 如图所示 , AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线 . (1) 画图 : 延长 AD 到点 E , 使 DE = AD , 连接 BE , CE ; (2) 判断四边形 ABEC 的形状 . 解析 : 根据要求画图 , 由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形 ABEC 的形状 . 解 : ( 1) 如图所示 . (2) 四边形 ABEC 为平行四边形 . 4 . 如图所示 , 平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , 直线 EF 经过点 O , 分别与 AB , CD 的延长线交于点 E , F. 求证 : 四边形 AECF 是平行四边形 . 证明 :∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OD = OB , OA = OC , ∵ AB ∥ CD ,∴∠ DFO =∠ BEO ,∠ FDO =∠ EBO , ∴△ FDO ≌△ EBO ,∴ OF = OE , ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 .