第2节 矩形、菱形、正方形.doc

第 五 章 四边形 第 2 节 矩形、菱形、正方形 考 点 精 讲 考点特训营 矩形、菱形、正方形 性质 矩形 判定思路 面积 性质 菱形 判定思路 面积 性质 正方形 判定思路 面积 四边形之间的转化关系 返回 性质 1. 边：矩形的对边平行且相等 AB ∥ CD ， AB = CD AD ∥① ， AD = BC 2. 角：四个角都是直角：∠ ABC =∠ BCD =∠ ADC =∠ BAD =90° 3. 对角线：对角线互相平分且相等： OA = OB = OC = OD ， AC ＝② ________ 4. 对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形，有 ③ 条对称轴 BC BD 两 返回 判定思路 面积： S ＝⑥ ( a 、 b 表示长和宽 ) 温馨提示 矩形的计算可以通过对角线转化为直角三角形、等腰（边）三角形进行菱形 已知条件 证明思路 四边形 直接证④ ________________ 先证平行四边形，再证一个角是直角 先证平行四边形，再证⑤ _______ 相等 平行四边形 证明一个角是直角 证明对角线相等 三个角是直角 对角线 ab 返回 性质 菱形的四条边都相等： AB = BC = CD = DA 对边平行： AB ∥ CD , AD ∥ BC AC 1. 边 菱形的对角线互相垂直且⑦ AC ⊥ BD AO = OC , DO = OB 对角线平分一组对角 ⑧ 平分∠ DAB 与∠ BCD ⑨ 平分∠ ABC 与∠ ADC 2. 对角线 3. 对称性：既是轴对称图形也是中心对称图形，有⑩ 条对称轴 平分 BD 两 返回 判定思路 面积： S ＝ ⑬ ( m 、 n 分别表示两条对角线的长 ) 温馨提示 菱形边、角的计算问题可以转化为直角三角形、等腰三角形进行 已知条件 证明思路 四边形 直接证 ⑪ ________ 相等 先证平行四边形，再证一组邻边相等 先证平行四边形，再证对角线 ⑫ ___________ 平行四边形 证明一组邻边相等 证明对角线互相垂直 四条边 互相垂直 返回 性质 四条边都相等： AB = BC = CD = AD 对边平行： AB ∥ CD , AD ∥ BC 1. 边 AC ⊥ BD 对角线互相垂直平分且相等 OD = OB , OA = OC AC = BD 对角线平分 ∠ DAC =∠ BAC = ⑭ ___ ,∠ DCA =∠ BCA =45° 一组对角 ∠ ADB =∠ CDB = ⑮ ___ ,∠ ABD =∠ CBD =45° 3. 对角线 2. 角：四个角都是直角：∠ ABC =∠ BCD =∠ ADC =∠ BAD =90° 45° 45° 返回 判定思路 面积： S ＝ ⑱ ( a 表示正方形边长 ) a 2 温馨提示有关正方形的计算可以转化为等腰直角三角形进行 已知条件 先证明 再证明 最后证明 四边形 平行四边形 矩形 一组邻边相等 对角线⑯ __________ 菱形 一个角是直角 对角线⑰ ______ 互相垂直 相等 四边形之间的转化关系 返回 重难点突破 一 矩形性质的有关计算 例 1 在矩形 ABCD 中， BC ＝ 4 ， BG 与对角线 AC 垂直，且分别交 AC ， AD 及 CD 延长线于点 E ， F ， G ，当点 F 为 AD 中点时， AB ＝ ________ ． 【 解析 】∵ 点 F 为 AD 中点，四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝ BC ＝ 4 ， AF ＝ AD ＝ 2 ，∵矩形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∴∠ EAF ＝∠ ECB ，∠ AFE ＝∠ CBE ，∴△ AEF ∽△ CEB ， ∴ ，∴ CE ＝ 2 AE ， BE ＝ 2 FE ， ∴ AC ＝ 3 AE ， BF ＝ 3 FE ，在矩形 ABCD 中，∵∠ ABC ＝∠ BAF ＝ 90° ，∴在 Rt△ ABC 和 Rt△ BAF 中，分别由勾股定理得： AC 2 ＝ AB 2 ＋ BC 2 ， BF 2 ＝ AF 2 ＋ AB 2 ，设 AB ＝ x ，则 (3 AE ) 2 ＝ x 2 ＋ 4 2 ， (3 FE ) 2 ＝ 2 2 ＋ x 2 ，两式相加得 9( AE 2 ＋ FE 2 ) ＝ 2 x 2 ＋ 20 ，又∵ AC ⊥ BG ，∴在 Rt△ AEF 中，根据勾股定理得： AE 2 ＋ FE 2 ＝ AF 2 ＝ 4 ，∴ 36 ＝ 2 x 2 ＋ 20 ，解得 x ＝ 2 或 x ＝－ 2( 舍去 ) ，∴ AB ＝ 2. 练习 1 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 、 F 分别在边 BC 、 CD 上，将△ ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B ′ 处，又将△ CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在 EB ′ 与 AD 的交点 C ′ 处，则 BC ∶ AB 的值为 ________ ． 【 解析 】 如解图，连接 CC ′ ，∵将△ ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B ′ 处，又将△ CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB ′ 与 AD 的交点 C ′ 处，∴ EC ＝ EC ′ ，∴∠ ECC ′ ＝∠ EC ′ C ，∵在矩形 ABCD 中，∵ AD ∥ BC ，∴∠ DC ′ C ＝∠ ECC ′ ，∴∠ DC ′ C ＝∠ EC ′ C ，∴ C ′ C 是∠ EC ′ D 的角平分线，∵∠ CB ′ C ′ ＝∠ D ＝ 90° ， CC ′ ＝ CC ′ ，∴△ CC ′ B ′≌△ CC ′ D ，∴ CB ′ ＝ CD ，又∵ AB ′ ＝ AB ，∴ AB ′ ＝ CB ′ ，∴ B ′ 是对角线 AC 中点，即 AC ＝ 2 AB ，∴∠ ACB ＝ 30° ，∴∠ BAC ＝ 60° ，∴ tan∠BAC ＝ tan60 ° ＝ ， BC ∶ AB 的值为 . 二 菱形性质的有关计算 例 2 在菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝ 60°. (1) 如图①，点 E 为线段 AB 的中点，连接 DE 、 CE ，若 AB ＝ 4 ，求线段 EC 的长； 【 思维教练 】 要求 CE 的长，需将其放在直角三角形中求解，由已知可证明△ ABD 为等边三角形，又由点 E 为 AB 的中点，可证明 DE ⊥ AB ，求出 DE ，进而可在 Rt△ ECD 中，由勾股定理求得 CE ； 【 自主作答 】 (1) 解：连接 BD ，如解图①， ∵菱形 ABCD ，∴ AB ＝ AD ＝ DC ＝ 4 ， 又∵∠ A ＝ 60° ，∴△ ABD 为等边三角形， 又∵ E 为 AB 的中点，∴∠ EDB ＝ ∠ ADB ＝ 30° ， DE ⊥ AB ， AE ＝ AB ＝ 2 ， 在 Rt △ AED 中， DE ＝ ， ∵∠ EDC ＝∠ EDB ＋∠ BDC ＝ 90° ， ∴在 Rt △ CDE 中， CE ＝ ； (2) 如图②， M 为线段 AC 上一点 ( M 不与 A 、 C 重合 ) ，以 AM 为边，构造如图所示等边三角形 AMN ，线段 MN 与 AD 交于点 G ，连接 NC 、 DM ， Q 为线段 NC 的中点，连接 DQ 、 MQ ，求证： DM ＝ 2 DQ . 【 思维教练 】 连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 QO ，证明 OQ 是△ ACN 的中位线，再证明△ DAM ∽△ DOQ ，进而得 ，便可得结论． 【 自主作答 】 (2) 证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 QO ，如解图②， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ O 为 AC 的中点， BD ⊥ AC ，∠ 1 ＝ ∠ BAD ＝ 30° ， ∴∠ 3 ＋∠ 4 ＝ 90° ， 又∵ Q 为 NC 中点，∴ OQ ∥ AN ， OQ ＝ AN ， ∴∠ 4 ＝∠ NAC ＝ 60° ， ∴∠ 3 ＝ 90° －∠ 4 ＝ 30° ＝∠ 1 ， ∴在 Rt△ ADO 中， ， 又∵ ， ∴△ DAM ∽△ DOQ ， ∴ ， ∴ DM ＝ 2 DQ . 练习 2 (2017 南充 ) 已知菱形的周长为 4 ，两条对角线的和为 6 ，则菱形的面积为 ( ) A. 2 B. C. 3 D. 4 【 解析 】 设菱形的边长为 a ，两条对角线的长分别为 m 、 n . 由题意可得 a ＝ ， m ＋ n ＝ 6. 因为菱形两条对角线互相垂直平分，两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，每个直角三角形两条直角边的和为 m ＋ n ＝ 3. 两边平方得 ( m ) 2 ＋ ( n ) 2 ＋ 2( m ) ( n ) ＝ 9. 而 ( m ) 2 ＋ ( n ) 2 ＝ a 2 ＝ 5. 所以每个直角三角形的面积为 · ( m )· ( n ) ＝ 1 ，因此菱形的面积为 4. D 三 正方形性质的有关计算 例 3 如图，正方形 ABCD 的边长为 3 ，点 E ， F 分别在边 AD ， AB 上，且 AE ＝ BF ＝ 1 ，连接 BE 、 CF 交于点 G ，在线段 EG 上取一点 H ，使 HG ＝ BG ，连接 DH ，把△ EDH 沿 AD 边翻折得到 △ EDH ′ ，则点 H 到边 DH ′ 的距离是 ________ ． 【 解析 】 连接 HH ′ ，交 AD 于点 P ，则 AD 垂直平分 HH ′ ，∴ DH ＝ DH ′ ，即△ DHH ′ 是等腰三角形，∵正方形 ABCD 的边长为 3 ， AE ＝ BF ＝ 1 ，∠ A ＝∠ FBC ＝ 90° ，∴△ ABE ≌△ BCF (SAS) ，∴∠ ABE ＝∠ BCF ， CF ＝ BE ，又∵∠ ABE ＋∠ GBC ＝ 90° ，∴∠ BCG ＋∠ GBC ＝ 90° ，∴ BG ⊥ CF ，∵ BF ＝ 1 ， BC ＝ 3 ，∴ Rt△ BCF 中， CF ＝ ， BG ＝ ，∴ HG ＝ BG ＝ ， 又∵ CF ＝ BE ＝ ，∴ HE ＝ ， ∴ EH ∶ HB ＝ 2∶3 ，∵ PH ∥ AB ， ∴ ，即 ，∴ PE ＝ ， PH ＝ ， PD ＝ ，∴ Rt△ PDH 中， DH ＝ ＝ DH ′, HH ′ ＝ 2× ＝ ，设点 H 到边 DH ′ 的距离是 h ， 则 × HH ′× PD ＝ × DH ′× h ，∴ ， ∴ h ＝ ，∴点 H 到边 DH ′ 的距离是 . C 练习 3 如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E 、 F 分别在 BC 和 CD 上．下列结论：① CE ＝ CF ；②∠ AEB ＝ 75° ；③ BE ＋ DF ＝ EF ；④ S 正方形 ABCD ＝ 2 ＋ . 其中正确的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【 解析 】∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝ AD ，∵△ AEF 是等边三角形，∴ AE ＝ AF ，在 Rt△ ABE 和 Rt△ ADF 中， ，∴ Rt△ ABE ≌Rt△ ADF (HL ) ， ∴ BE ＝ DF ，∵ BC ＝ DC ，∴ BC － BE ＝ CD － DF ，∴ CE ＝ CF ，∴①说法正确；∵ CE ＝ CF ，∴△ ECF 是等腰直角三角形，∴∠ CEF ＝ 45° ，∵∠ AEF ＝ 60° ，∴∠ AEB ＝ 75° ，∴②说法正确； 如解图，连接 AC ，交 EF 于 G 点，∴ AC ⊥ EF ，且 AC 平分 EF ，∵∠ CAF ≠∠ DAF ，∴ DF ≠ FG ，∴ BE ＋ DF ≠ EF ，∴③说法错误；∵ EF ＝ 2 ，∴ CE ＝ CF ＝ ，设正方形的边长为 a ，在 Rt△ ADF 中， a 2 ＋ ( a － ) 2 ＝ 4 ，解得 a ＝ 或 ( 舍 ) ， 则 a 2 ＝ 2 ＋ ，∴ S 正方形 ABCD ＝ 2 ＋ ， ∴④说法正确，∴正确的有①②④ .