第一单元 数与式
第
3
课时 因式分解
考纲考点
（1）因式分解的意义
（2）用提公因式法、公式法进行因式分解（指数是正整数，直接
用公式不超过两次）
因式分解安徽中考近5年中有4年都考查了因式分解.预测2017年安
徽中考数学命题仍会有因式分解.
考情分析
知识体系图
要点梳理
因式分解
定义：左边是多项式右边是整式的积
方法
提公因式法
公式法
分组分解法
十字相乘法
求根公式法
系数（最大公约数）
字母（相同字母最低次幂）
平方差公式：
a
2
-
b
2
=(
a
+
b
)(
a
-
b
)
完全平方公式：
a
2
±
2
ab
+
b
2
=(
a
±
b
)
2
1.
3.1
因式分解及其基本方法
1.
因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫作多项
式的因式分解
.
2.
因式分解的基本方法
（
1
）提取公因式法：
ma+mb+mc=m
(
a+b+c
)
.
（
2
）运用公式法：
a
2
-b
2
=
(
a+b
)(
a-b
)
；
a
2
±
2
ab+b
2
=
(
a
±
b
)
2
.
（
3
）分组分解法：①分组后直接提取公因式；②分组后直接运用
公式
.
（
4
）十字相乘法：
x
2
+
(
p+q
)
x+pq
型式子的因式分解，即：
x
2
+
(
p+q
)
x+pq=
(
x
2
+px
)
+
(
qx+pq
)
=x
(
x+p
)
+q
(
x+p
)
=
(
x+p
)(
x+q
).
（
5
）求根公式法：在分解二次三项式
ax
2
+bx+c
的因式时，可先求
方程
ax
2
+bx+c=
0
的两个根
x
1
，
x
2
，然后得
ax
2
+bx+c=a
(
x-x
1
)(
x-x
2
).
要点梳理
1.3.2
因式分解的一般步骤
1.
如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式
.
2.
如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解
.
3.
分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括
号，且同类项合并完毕，若有相同因式，写成幂的形式
.
4.
注意因式分解中的范围，如
x
4
-
4
=
(
x
2
+
2)(
x
2
-
2),
在实数范围内因式
分解，
x
4
-
4
=
(
x
2
+
2)(
x
2
-
2)
=
(
x+
2)(
x+
(
x-
，题目不做说明的，表
明是在有理数范围内因式分解
.
要点梳理
1.3.3
解题步骤方法
1.
公因式的确定步骤
（
1
）看系数：取各项整数系数的最大公约数
.
（
2
）看字母：取各项相同的字母
.
（
3
）看指数：取相同字母的最低次幂
.
2.
因式分解的思考步骤
（
1
）提取公因式
.
（
2
）看看有几项：如果为二项时，考虑平方差公式
;
如果为三项，考虑完全平方公式
.
（
3
）检查是否分解彻底
.
在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，
再重复以上步骤进行思考，试探分解的可能性，直至不能分解为止
.
以上步骤可以概括为
“
一提二套三查
”.
要点梳理
【例
1
】
下列从左到右的变形是因式分解的为 （
D
）
A. (3-
x
)(3+
x
)=9-
x
2
B. (
a
-
b
)(
a
2
+
ab
+
b
2
)=
a
3
-
b
3
C.
a
2
-4
ab
+4
b
2
-1=
a
(
a
-4
b
)+(2
b
+1)(2
b
-1)
D. 4
x
2
-25
y
2
=(2
x
+5
y
)(2
x
-5
y
)
【解析】
根据因式分解的定义可知，选项
A
，
B
，
C
均不是因式分解，只有选项
D
属于因式分解
.
解决此类问题要注意一下两点：（
1
）
因式分解是把一个多项式写成几个因式的积的形式；（
2
）因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止.
经典考题
【例
2
】（
2014
年广东）
把
x
3
-9
x
分解因式，结果正确的是
（
D
）
A.
x
(
x
2
-9) B.
x
(
x
-3)
2
C.
x
(
x
+3)
2
D.
x
(
x
+3)(
x
-3)
【解析】
先提取公因式
x
，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可
.
解决此类问题一定要注意：
(1)因式分解的常用方法包括提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等；(2)分解因式要彻底，要分解到每个因式都不能再分解为止.
经典考题
【例
3
】（
2014
年安徽）
下列四个多项式中，能因式分解的是
（
B
）
A.
a
2
+
1
B.
a
2
-
6
a+
9
C
.x
2
+
5
y
D
.x
2
-
5
y
【解析】
此题考查了对
“
一提二套三查
”
的理解，该题中四个选项都没有公因式，
不能使用提公因式法分解
.
只有
B
选项可以套用完全平方公式进行因式分解，
所以
B
选项的多项式可以进行因式分解，而其余多项式不能进行因式分解
.
经典考题
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