（2017秋）人教版九年级数学上册阶段方法技巧训练：专训2　垂径定理的四种应用技巧 (共13张PPT).ppt

阶段方法技巧训练（一） 专训 2 　 垂径定理的四种 应用技巧 习题课 垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解 决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦 的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段 组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三 个量中知道任意两个，可求出第三个． 1 技巧 巧用垂径定理求点的坐标 1 ．如图所示，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (10 ， 0) ，点 B 的坐标是 (8 ， 0) ，点 C ， D 在以 OA 为直径的半圆 M 上， 且四边形 OCDB 是平行四 边形，求点 C 的坐标． 如图，连接 CM ，作 MN ⊥ CD 于 N ， CH ⊥ OA 于 H . ∵ 四边形 OCDB 为平行四边形， B 点的坐标是 (8 ， 0) ， ∴ CD ＝ OB ＝ 8 ， CN ＝ MH ， CH ＝ MN . 又∵ MN ⊥ CD ， ∴ CN ＝ DN ＝ CD ＝ 4. 易知 OA ＝ 10 ，∴ MO ＝ MC ＝ 5. 在 Rt△ MNC 中， MN ＝ ∴ CH ＝ 3 ，又 OH ＝ OM － MH ＝ 5 － 4 ＝ 1. ∴ 点 C 的坐标为 (1 ， 3) ． 解 ： 2 技巧 巧用垂径定理解决最值问题 ( 对称思想 ) 2 ．如图， AB ， CD 是半径为 5 的⊙ O 的两条弦， AB ＝ 8 ， CD ＝ 6 ， MN 是直径， AB ⊥ MN 于点 E ， CD ⊥ MN 于点 F ， P 为直线 EF 上的任意一点，求 PA ＋ PC 的最小值． 解 ： 如图，易知点 C 关于 MN 的对称点为点 D ，连接 AD ，交 MN 于点 P ，连接 PC ， 易知此时 PA ＋ PC 最小且 PA ＋ PC ＝ AD . 过点 D 作 DH ⊥ AB 于点 H ， 连接 OA ， OC . 易知 AE ＝ 4 ， CF ＝ 3 ， 由勾股定理易得 OE ＝ 3 ， OF ＝ 4 ， ∴ DH ＝ EF ＝ 7 ，又 AH ＝ AE ＋ EH ＝ 4 ＋ 3 ＝ 7. ∴ AD ＝ 7 . 即 PA ＋ PC 的最小值为 7 . 本题运用了 转化思想 ，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度． 3 技巧 巧用垂径定理计算 3 ．如图， CD 为⊙ O 的直径， CD ⊥ AB ，垂足为点 F ， AO ⊥ BC ，垂足为 E ， BC ＝ 2 . (1) 求 AB 的长； (2) 求⊙ O 的半径． 解 ： (1) 连接 AC ， ∵ CD 为⊙的直径， CD ⊥ AB ， ∴ AF ＝ BF ， ∴ AC ＝ BC . 延长 AO 交⊙ O 于 G ， 则 AG 为⊙ O 的直径，又 AO ⊥ BC ， ∴ BE ＝ CE ， ∴ AC ＝ AB . ∴ AB ＝ BC ＝ 2 . (2) 由 (1) 知 AB ＝ BC ＝ AC ， ∴△ ABC 为等边三角形， ∵ AE ⊥ BC ， ∴∠ EAB ＝∠ CAE ＝ ∠ CAB ＝ 30°. 即∠ OAF ＝ 30° ， 在 Rt△ OAF 中， AF ＝ ， 易得 OA ＝ 2 ，即⊙ O 的半径为 2. 4 技巧 巧用垂径定理解决实际问题 ( 建模思想 ) 4 ．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的 水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米，现有 一艘宽 3 米，船舱顶部为长方形并高出水面 2 米 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱 桥吗？ 解 ： 如图，设圆弧形桥拱 AB 所在圆的圆心为 O ， 连接 OA ， OB ，作 OD ⊥ AB 于点 D ， 交 ⊙ O 于点 C ，交 MN 于点 H ， 由垂径定理可知， D 为 AB 的中点． 设 OA ＝ r 米，则 OD ＝ OC － DC ＝ ( r － 2.4) 米， AD ＝ AB ＝ 3.6 米． 在 Rt△ AOD 中， OA 2 ＝ AD 2 ＋ OD 2 ， 即 r 2 ＝ 3.6 2 ＋ ( r － 2.4) 2 ， 解得 r ＝ 3.9. 在 Rt△ OHN 中， OH ＝ ＝ 3.6( 米 ) ． 所以 FN ＝ DH ＝ OH － OD ＝ 3.6 － (3.9 － 2.4) ＝ 2.1( 米 ) ． 因为 2.1 米＞ 2 米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．