人教A版高中数学选修2-1《1.4.3含有一个量词的命题的否定》课件.pptx

第一章　 §1.4　 全称量词与存在量词 1.4.3 　含有一个量词的命题的否定 学习目标 1. 理解含有一个量词的命题的否定的意义 . 2 . 会对含有一个量词的命题进行否定 . 3 . 掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题 . 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 　 知识点一　全称命题的否定 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法 . (1) 所有矩形都是平行四边形； 将量词 “ 所有 ” 换为： “ 存在一个 ” 然后将结论否定，即 “ 不是 平行四边形 ” ，所以原命题的否定为： “ 存在一个矩形不是平行四边形 ” ；用同样的方法可得 (2)(3) 的否定： 答案 (2) 每一个素数都是奇数； 解答 存在一个素数不是奇数； (3) ∀ x ∈ R ， x 2 － 2 x ＋ 1 ≥ 0. 解答 ∃ x 0 ∈ R ， － 2 x 0 ＋ 10 对于任意 x ∈ R 恒成立 ， 并说明理由 ； 解答 不等式 m ＋ f ( x )>0 可化为 m > － f ( x ) ， 即 m > － x 2 ＋ 2 x － 5 ＝－ ( x － 1) 2 － 4. 要使 m > － ( x － 1) 2 － 4 对于任意 x ∈ R 恒成立，只需 m > － 4 即可 . 故存在实数 m ， 使不等式 m ＋ f ( x )>0 对于任意 x ∈ R 恒成立 ， 此时 ， 只需 m > － 4. (2) 若存在一个实数 x 0 ，使不等式 m － f ( x 0 )>0 成立，求实数 m 的取值范围 . 解答 不等式 m － f ( x 0 )>0 可化为 m > f ( x 0 ) ，若存在一个实数 x 0 ，使不等式 m > f ( x 0 ) 成立，只需 m > f ( x ) min . 又 f ( x ) ＝ ( x － 1) 2 ＋ 4 ， ∴ f ( x ) min ＝ 4 ， ∴ m >4. ∴ 所求实数 m 的取值范围是 (4 ，＋ ∞ ). 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素 . 一般地，对任意的实数 x ， a > f ( x ) 恒成立，只要 a > f ( x ) max ；若存在一个实数 x 0 ，使 a > f ( x 0 ) 成立，只需 a > f ( x ) min . 反思与感悟 跟踪训练 3 　已知 f ( x ) ＝ 3 ax 2 ＋ 6 x － 1( a ∈ R ). (1) 当 a ＝－ 3 时，求证：对任意 x ∈ R ，都有 f ( x ) ≤ 0 ； 当 a ＝－ 3 时， f ( x ) ＝－ 9 x 2 ＋ 6 x － 1 ， ∵ Δ ＝ 36 － 4 × ( － 9) × ( － 1) ＝ 0 ， ∴ 对任意 x ∈ R ，都有 f ( x ) ≤ 0. 证明 (2) 如果对任意 x ∈ R ， 不等式 f ( x ) ≤ 4 x 恒成立 ， 求实数 a 的取值范围 . ∵ f ( x ) ≤ 4 x 恒成立， ∴ 3 ax 2 ＋ 2 x － 1 ≤ 0 恒成立 ， 解答 当堂训练 2 3 4 5 1 1. 已知 a >0 且 a ≠ 1 ，命题 “ ∃ x 0 >1 ， log a x 0 >0 ” 的否定是 A. ∃ x 0 ≤ 1 ， log a x 0 >0 B . ∃ x 0 >1 ， log a x 0 ≤ 0 C. ∀ x ≤ 1 ， log a x >0 D . ∀ x >1 ， log a x ≤ 0 a >0 且 a ≠ 1 ，命题 “ ∃ x 0 >1 ， log a x 0 >0 ” 的否定是 “ ∀ x >1 ， log a x ≤ 0 ” . 答案 解析 √ 2 3 4 5 1 2. 设 x ∈ Z ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集 . 若命题 p ： ∀ x ∈ A ， 2 x ∈ B ，则 A. 綈 p ： ∀ x ∈ A ， 2 x ∉ B B. 綈 p ： ∀ x ∉ A ， 2 x ∉ B C. 綈 p ： ∃ x 0 ∉ A ， 2 x 0 ∈ B D. 綈 p ： ∃ x 0 ∈ A ， 2 x 0 ∉ B 命题 p ： ∀ x ∈ A ， 2 x ∈ B 是一个全称命题，其命题的否定 綈 p 应为 ∃ x 0 ∈ A ， 2 x 0 ∉ B . 故选 D. 答案 解析 √ 2 3 4 5 1 3. 命题 “ 对任意一个实数 x ，都 有 > 0 ” 的否定是 ________________ ______________. 答案 解析 存在一个实数 x 0 ， 使得 2 x 0 ＋ 4 ≤ 0 2 3 4 5 1 4. 由命题 “ ∃ x 0 ∈ R ， ＋ 2 x 0 ＋ m ≤ 0 ” 是 假命题，得实数 m 的取值范围 是 ( a ，＋ ∞ ) ，则实数 a ＝ ___. 由题意得命题 “ ∀ x ∈ R ， x 2 ＋ 2 x ＋ m >0 ” 是真命题，所以 Δ ＝ 4 － 4 m 1 ，故实数 m 的取值范围是 (1 ，＋ ∞ ) ，从而实数 a 的值为 1. 答案 解析 1 2 3 4 5 1 5. 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － mx ＋ 1 ，命题 p ： “ 对任意 x ∈ R ，都有 f ( x )>0 ” ，命题 q ： “ 存在 x 0 ∈ R ， 使 ＋ m 2 0 ” ，所以 綈 p ： “ 不等式 f ( x ) ≤ 0 在实数集上有解 ” ，故 Δ ＝ m 2 － 4 ≥ 0 ，得 m ≤ － 2 或 m ≥ 2. 又命题 q ： “ 存在 x 0 ∈ R ， 使 ＋ m 2 0 ，所以－ 3< m