27.1.2圆的对称性(2).ppt

27.1.2 垂径定理 实践探究 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条 直径所在直线 都是它的对称轴．　 活动一 ● O 判断对错并说明理由 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径（ ） 问题：左图中 AB 为圆 O 的直径， CD 为圆 O 的弦。相交于点 E ，当弦 CD 在圆上运动的过程中有没有特殊情况？ 运动 CD 直径 AB 和弦 CD 互相垂直 观察讨论 如图， AB 是⊙ O 的一条弦，做直径 CD ，使 CD ⊥ AB ，垂足为 E ． （ 1 ）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （ 2 ）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ ? 思 考 · O A B C D E 活 动 二 （ 1 ）是轴对称图形．直径 CD 所在的直线是它的对称轴 （ 2 ）线段： AE=BE ⌒ ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ 把圆沿着直径 CD 折叠时， CD 两侧的两个半圆重 合，点 A 与点 B 重合， AE 与 BE 重合， ＡＣ和ＢＣ 重合， ＡＤ和ＢＤ 重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 平分ＡＢ　及　ＡＣＢ ⌒ ⌒ · O A B C D E 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 即ＡＥ＝ＢＥ　 ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 思考 ： 平分弦的直径垂直于这条弦吗？ CD⊥AB, CD 是直径 AE=BE 可推得 ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 , 并且平分弦所对的两条弧 . B A D C O E 平分弦的直径垂直于弦（ ） C D B A O 1. 被平分的弦不是直径 2. 被平分的弦是直径 AB 不是直径 AM=BM, CD 是直径 CD⊥AB 可推得 CD⊥AB, CD 是直径 AM=BM AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. ⌒ ⌒ 可推得 Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M Ｏ 几何语言表达 垂径定理 ： 垂径定理的推论： AB 不是直径 AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD. ⌒ ⌒ B A D C O A B D O A B D O A B C D O 图 1 A B C D O 图 2 O A B C D 图 3 图 4 图 5 图 6 Ｅ Ｅ Ｅ Ｅ Ｅ 下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？ 辨别是非 　练习 2 、按图填空：在⊙ O 中， （ 1 ）若 MN⊥AB ， MN 为直径， 则 ________ ， ________ ， ________ ； （ 2 ）若 AC ＝ BC ， MN 为直径， AB 不是直径， 则 ________ ， ________ ， ________ ； （ 3 ）若 MN⊥AB ， AC ＝ BC ，则 ________ ， ________ ， ________ ； （ 4 ）若 AN = BN ， MN 为直径，则 ________ ， ________ ， ________ ． Ａ Ｂ N M C Ｏ ⌒ ⌒ 例 1. 判断下列说法的正误 ① 平分弧的直径必平分弧所对的弦 　②平分弦的直线必垂直弦 ③ 垂直于弦的直径平分这条弦 ④ 平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤ 弦的垂直平分线一定经过圆心 ⑥ 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦ 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　 　必平分此弦所对的弧 辨别是非 例题解析 练 1 ：如图，已知在圆 O 中，弦 AB 的长为 8㎝ ， 圆心 O 到 AB 的距离为 3 ㎝ ，求圆 O 的半径。 练习 : 在半径为 50 ㎜ 的圆 O 中，有长 50㎜ 的 　　弦 AB ，计算： 　　⑴点 O 与 AB 的距离； 　　⑵∠ AOB 的度数。 E 练习 : 在圆 O 中，直径 CE⊥AB 于 D ， OD=4 ㎝ ，弦 AC= ㎝ ， 求圆 O 的半径。 　　 练 2 ： 如图，圆 O 的弦 AB ＝ 8 ㎝ ， DC ＝ 2㎝ ，直径 CE⊥AB 于 D ， 求半径 OC 的长。 . A E B O . A E B O F 思路：（由）垂径定理 —— 构造 Rt △—— （结合）勾股定理 —— 建立方程 构造 Rt △ 的 “ 七字口诀 ” ： 半径半弦弦心距 例 2 ．如图，在⊙ O 中， AB 、 AC 为互相垂直且相等的两条弦， OD ⊥ AB 于 D ， OE ⊥ AC 于 E ，求证四边形 ADOE 是正方形． D · O A B C E 挑战自我 画一画 如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使 AB 过点 M. 并且 AM=BM. ● O ● M 1. 已知：⊙ O 的半径为 5 , 弦 AB∥CD ， AB = 6 ， CD =8 . 求： AB 与 CD 间的距离 思考 2. 已知：如图，在同心圆 O 中，大⊙ O 的弦 AB 交小⊙ O 于 C,D 两点 求证： AC=DB E 思考： 平分已知 ⌒ AB ⌒ A B 实际应用 某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７ .2 m ，过 O 作 OC ⊥ AB 于 D ， 交圆弧于 C ， CD=2.4m ， 现有一艘宽 3m ，船舱顶部为方形并高出水面（ AB ） 2m 的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ C N M A E H F B D O 例：如图 9 ，有一个拱桥是圆弧形，他的跨度为 60m ，拱高为 18m ，当洪水泛滥跨度小于 30m 时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有 4m 时，问是否要采取紧急措施？ o M N E 垂径定理 垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。 总结 1 、文字语言 2 、符号语言 3 、图形语言 条件 结论 （ 1 ）过圆心 （ 2 ）垂直于弦 ｝ ｛ （ 3 ）平分弦 （ 4 ）平分弦所对的优弧 （ 5 ）平分弦所对的劣弧 分析 CD 为直径， CD ⊥AB ｝ ｛ 点 C 平分弧 ACB 点 D 平分弧 ADB 垂径定理的几个基本图形 练 3 ：如图，已知圆 O 的直径 AB 与弦 CD 相交于 G ， AE⊥CD 于 E ， BF⊥CD 于 F ，且圆 O 的半径为 10㎝ ， CD=16 ㎝ ，求 AE-BF 的长。 练习 : 如图， CD 为圆 O 的直径，弦 AB 交 CD 于 E ， ∠ CEB=30° ， DE=9㎝ ， CE=3㎝ ，求弦 AB 的长。 1300 多年前 , 我国隋朝建造的赵州石拱桥 ( 如图 ) 的桥拱是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对是弦的长 ) 为 37.4 m, 拱高为 7.2m, 求桥拱的半径 ( 精确到 0.1m). 37.4 米 7.2 米 B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为 O ，半径为 R ．经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC ， D 为垂足， OC 与 AB 相交于点 D ，根据前面的结论， D 是 AB 的中点， C 是 ＡＢ 的中点， CD 就是拱高． ⌒ ⌒ ⌒ 结束寄语 不学自知 , 不问自晓 , 古今行事 , 未之有也 . 再见                 . A O B E C D F 思考题 已知： AB 是⊙ O 直径， CD 是弦， AE⊥CD ， BF⊥CD 求证： EC ＝ DF