【全效学习】2018届中考数学学练测《10.1相似图形》课件.ppt

第十单元 相似图形 第 32 课时 相似图形 1 ． [2017· 兰州 ] 已知 2 x ＝ 3 y ( y ≠ 0) ，则以下结论成立的是 ( 　 　 ) 小题热身 A 图 32 － 1 C 3 ． [2017· 重庆 B 卷 ] 已知 △ ABC ∽△ DEF ，且相似比为 1 ∶ 2 ，则 △ ABC 与 △ DEF 的面积比是 ( 　 　 ) A ． 1 ∶ 4 B.4 ∶ 1 C.1 ∶ 2 D.2 ∶ 1 【 解析 】 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得 S △ ABC ∶ S △ DEF ＝ 1∶4 ，故选 A. A 4 ． [2017· 杭州 ] 如图 32 － 2 ，在 △ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， DE ∥ BC ，若 BD ＝ 2 AD ，则 ( 　 　 ) 图 32 － 2 B 一、必知 6 知识点 1 ．相似图形 相似图形：形状相同的图形称为相似图形． 相似多边形：对应角 ________ ，对应边 _________ 的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做 _________ ． 相似三角形：对应角 ________ ，对应边 _________ 的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫 ________ ，通常用字母 k 表示；全等三角形是相似比为 _____ 的特殊的相似三角形． 考点管理 相等 成比例 相等 成比例 相似比 1 相似比 2 ． 比例线段 ad ＝ bc 【 智慧锦囊 】 2 3 ．由平行线截得的比例线段 定理：两条直线被一组平行线 ( 不少于 3 条 ) 所截，所得的对应线段 _________ ． 4 ．相似三角形的性质 性质： (1) 相似三角形的对应角 _______ ，对应边 _________ ； (2) 相似三角形周长之比等于 _________ ； (3) 相似三角形的面积之比等于相似比的 _______ ； (4) 相似三角形的对应高线的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于 _________ ． 成比例 相等 成比例 相似比 平方 相似比 5 ．相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定定理 1 ：两个角 __________ 的两个三角形相似． 判定定理 2 ：两边对应成比例，且 _________ 的两个三角形相似． 判定定理 3 ：三边对应 _________ 的两个三角形相似． 对应相等 夹角相等 成比例 【 智慧锦囊 】 重要结论：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似． 如图 32 － 3 ，在 Rt △ ABC 中， CD 是斜边上的高线，则 △ ABC ∽△ CBD ∽△ ACD . 图 32 － 3 6 ．相似多边形的性质 性质： (1) 相似多边形的周长之比等于 __________ ； (2) 相似多边形的面积之比等于相似比的 ________ ． 相似比 平方 二、必会 2 方法 1 ．相似三角形的基本图形 (1) 平行线型： 如图 32 － 4 ，若 CD ∥ AB ，则有 △ OCD ∽△ OAB ； 图 32 － 4 (2) 斜线型： 如图 32 － 5 ，若 ∠ 1 ＝ ∠ A ，则有 △ OCD ∽△ OAB ，特别是右图中，当 △ OCD ∽△ OAB 时，有 OC 2 ＝ OA · OD ； 图 32 － 5 (3) 旋转型： 如图 32 － 6 ，若 ∠ 1 ＝ ∠ 2 ，且 OD ∶ OA ＝ OC ∶ OB ，或 ∠ 1 ＝ ∠ 2 ，∠ D ＝ ∠ A ，则有 △ OCD ∽△ OBA . 图 32 － 6 2 ．分类讨论思想 近几年中考常出现有关相似图形的多解问题，这类题特征是不给出几何图形，要求分类讨论．解这种问题时要注意不能漏解． 平行线分线段成比例定理 图 32 － 7 B 图 32 － 8 4 2 ． [2017· 长春 ] 如图 32 － 9 ，直线 a ∥ b ∥ c ，直线 l 1 ， l 2 与这三条平行线分别交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F . 若 AB ∶ BC ＝ 1∶2 ， DE ＝ 3 ，则 EF 的长为 _____ ． 图 32 － 9 6 相似三角形的判定 [2017· 杭州 ] 如图 32 － 10 ，在锐角三角形 ABC 中，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 上， AG ⊥ BC 于点 G ， AF ⊥ DE 于点 F ，∠ EAF ＝ ∠ GAC . (1) 求证： △ ADE ∽△ ABC ； 图 32 － 10 解 ： (1) 证明： ∵ AG ⊥ BC ， AF ⊥ DE ， ∴∠ AFE ＝ ∠ AGC ＝ 90° ， ∵∠ EAF ＝ ∠ GAC ，∴∠ AED ＝ ∠ C ， ∵∠ EAD ＝ ∠ BAC ，∴△ ADE ∽△ ABC ； 图 32 － 11 (1) 求证： △ ADF ∽△ ACG ； (1) 通过计算，判断 AD 2 与 AC · CD 的大小关系； (2) 求∠ ABD 的度数． 图 32 － 12 【 点悟 】 　判定两个三角形相似的常规思路： (1) 先找两对对应角相等； (2) 若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3) 若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；另外还可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的 “ 传递性 ” ． 相似三角形的性质 [2017· 湘潭 ] 如图 32 － 13 ，在 △ ABC 中， D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点，则 S △ ADE ∶ S △ ABC ＝ ________ ． 图 32 － 13 1∶4 1 ． [2017· 连云港 ] 如图 32 － 14 ，已知 △ ABC ∽△ DEF ， AB ∶ DE ＝ 1∶2 ，则下列等式一定成立的是 ( 　 　 ) 图 32 － 14 D 【 解析 】 已知 △ ABC ∽△ DEF 且相似比为 1∶2 ， A 选项中 BC 与 DF 不是对应边； B 选项中的 ∠ A 和 ∠ D 是一对对应角，根据 “ 相似三角形的对应角相等 ” 可得 ∠ A ＝ ∠ D ；根据 “ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 ” 可得两个三角形的面积比是 1∶4 ，根据 “ 相似三角形的周长比等于相似比 ” 可得两个三角形的周长比是 1∶2. 因此 A ， B ， C 选项错误， D 选项正确． 2 ．一副三角板叠放位置如图 32 － 15 ，则 △ AOB 与 △ COD 的面积之比为 ________ ． 图 32 － 15 1∶3 【 解析 】 首先设 BC ＝ x ，根据题意可得 ∠ ABC ＝ ∠ DCB ＝ 90° ， AB ＝ BC ，∠ D ＝ 30° ，即可求得 CD 与 AB 的长，又可得 △ AOB ∽△ COD ，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得 △ AOB 与 △ COD 的面积之比． 【 点悟 】 　相似三角形面积之比等于相似比的平方． 相似三角形与圆 [2017· 衢州 ] 如图 32 － 16 ， AB 为半圆 O 的直径， C 为 BA 延长线上一点， CD 切半圆 O 于点 D ，连结 OD . 作 BE ⊥ CD 于点 E ，交半圆 O 于点 F . 已知 CE ＝ 12 ， BE ＝ 9. 图 32 － 16 (1) 求证： △ COD ∽△ CBE ； (2) 求半圆 O 的半径 r 的长． 【 解析 】 (1) 利用切线的性质可得 ∠ CDO ＝ 90° ，根据垂直的性质得 ∠ E ＝ 90° ，再加 ∠ C 是公共角，易得 △ COD ∽△ CBE ； (2) 利用勾股定理易求 BC ＝ 15 ，结合第一问的结论，利用相似三角形对应边成比例的性质可求圆的半径． 解 ： (1)∵ CD 切半圆于点 D ， OD 为 ⊙ O 的半径，∴ CD ⊥ OD ，∴∠ CDO ＝ 90° ，∵ BE ⊥ CD 于点 E ，∴∠ E ＝ 90° ，∵∠ CDO ＝ ∠ E ＝ 90° ，∠ C ＝ ∠ C ，∴△ COD ∽△ CBE ； 1 ． [2017· 菏泽 ] 如图 32 － 17 ， AB 是 ⊙ O 的直径， PB 与 ⊙ O 相切于点 B ，连结 PA 交 ⊙ O 于点 C ，连结 BC . (1) 求证： ∠ BAC ＝ ∠ CBP ； (2) 求证： PB 2 ＝ PC · PA ； (3) 当 AC ＝ 6 ， CP ＝ 3 时，求 sin ∠ PAB 的值． 【 解析 】 (1) 根据题意可知 PB ⊥ AB ，∠ ACB ＝ 90° ，依据同角 的余角相等可证 ∠ BAC ＝ ∠ CBP ； (2)∵∠ BAC ＝ ∠ CBP ，∠ P ＝ ∠ P ，∴△ PBC ∽△ PAB ， (3)∵ AC ＝ 6 ， CP ＝ 3 ，依据 PB 2 ＝ PC · PA 可以直接求出 PB 的 长，从而在 Rt △ APB 中可以直接求出 sin ∠ PAB 的值． 图 32 － 17 解 ： (1) 证明： ∵ AB 是 ⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ CAB ＋ ∠ CBA ＝ 90° ， ∵ PB 与 ⊙ O 相切于点 B ，∴∠ PBA ＝ 90° ， ∴∠ PBC ＋ ∠ CBA ＝ 90° ，∴∠ BAC ＝ ∠ CBP ； 2 ． [2017· 德州 ] 如图 32 － 18 ，已知 Rt △ ABC ，∠ C ＝ 90° ， D 为 BC 的中点．以 AC 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 E . (1) 求证： DE 是 ⊙ O 的切线； (2) 若 AE ∶ EB ＝ 1∶2 ， BC ＝ 6 ，求 AE 的长． 图 32 － 18 【 解析 】 (1) 连结 OE ，只需证 OE ⊥ DE ，即得 DE 是 ⊙ O 的切线，再连结 CE ，利用圆的性质与直角三角形的性质，易证 ∠ OED ＝ ∠ ACD ＝ 90° ，从而获得结论； (2) 根据 AE ∶ EB ＝ 1∶2 ，易得 BE 与 BA 之比，通过证明 Rt △ BEC ∽ Rt △ BCA ，获得 BC ， BE ， BA 间的数量关系，据此构建方程可求解 AE 的长． 变式跟进 2 答图 3 ．如图 32 － 19 ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ，以 AC 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E . (1) 求证： BE ＝ CE ； (2) 若 BD ＝ 2 ， BE ＝ 3 ，求 AC 的长． 图 32 － 19 【 解析 】 (1) 如答图，连结 AE ，根据圆周角定理，由 AC 为 ⊙ O 的直径得到 ∠ AEC ＝ 90° ，然后利用等腰三角形的性质即可得到 BE ＝ CE ； (2) 连结 DE ，证明 △ BED ∽△ BAC ，然后利用相似比可计算出 AB 的长，从而得到 AC 的长． 变式跟进 3 答图 【 点悟 】 　证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后根据 “ 三点定形 ” 确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间比来 “ 搭桥 ” ． 相似三角形对应高线的比的应用 [2016· 怀化 ] 如图 32 － 20 ，△ ABC 为锐角三角形， AD 是 BC 边上的高线，正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上，顶点 E ， H 分别在 AB ， AC 上， EH 与 AD 交于点 M ，已知 BC ＝ 40 cm ， AD ＝ 30 cm. (1) 求证： △ AEH ∽△ ABC ； (2) 求这个正方形的边长与面积． 图 32 － 20 如图 32 － 21① ，课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC ，它的边 BC ＝ 120 mm ，高线 AD ＝ 80 mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB ， AC 上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？ 小颖解得此题的答案为 48 mm. 小颖善于反思，她又提出了如下的问题． (1) 如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 ② ，此时，这个矩形零件的两条边长又分别是多少毫米？ (2) 如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 ③ ，这样此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边的长． 图 32 － 21 必明 3 易错点 1 ．求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位． 2 ．证明两个三角形相似时，要注意将对应顶点写在对应位置上． 3 ．相似多边形的面积比等于相似比的平方，要注意与周长比的区别． 相似三角形易错点扫描　 图 32 － 22 【 错解 】C 【 错因 】 运用平行线分线段成比例定理时，容易出现没有按 “ 对应 ” 来写比例线段的错误． 【 正解 】D 【 点悟 】 　 (1) 相似三角形要考虑不同的对应情况，思维全面，不能漏解； (2) 善于利用平行线构造比例线段，表示相似图形时，要特别注意对应点的正确写法以及对应边与对应角的寻找，不然很容易因疏忽而出现错误．