2018年秋人教B版数学选修2-3课件2.3.2　离散型随机变量的方差 .ppt

1 . 通过实例 , 理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义 . 2 . 会求离散型随机变量的方差、标准差 . 3 . 会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题 . 方差 (1) 设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x 1 , x 2 ,…, x n , 这些值对应的概率是 p 1 , p 2 ,…, p n , 则 D ( X ) = ( x 1 -E ( X )) 2 p 1 + ( x 2 -E ( X )) 2 p 2 + … + ( x n -E ( X )) 2 p n 叫做这个离散型随机变量 X 的方差 . (2) 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的 平均波动大小 . (3) D ( X ) 的 叫做离散型随机变量 X 的标准差 . (4) 若离散型随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布 , 则 D ( X ) = np (1 -p ) . 归纳总结 离散型随机变量 ξ 的期望与方差 【做一做 1 】 下列是四个关于离散型随机变量的期望和方差的描述 : ① E ( ξ ) 与 D ( ξ ) 都是一个数值 , 它是 ξ 本身所固有的特征数 , 它们不具有随机性 ; ② 离散型随机变量一切可能值位于区间 [ a , b ] 内 , 则 a ≤ E ( ξ )≤ b ; ③ 离散型随机变量的期望反映随机变量取值的平均水平 , 而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动、集中与离散程度 ; ④ 离散型随机变量的期望和方差若存在必唯一 , 期望的值可正可负 , 而方差的值一定是非负 . 以上四个结论中正确的个数是 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 : D 研究均值与方差有何意义 ? 剖析 随机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数 ( 或数字特征 ), 是对随机变量的一种简明的描写 . 虽然随机变量的分布列完全决定了随机变量的取值规律 , 但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点 , 例如它取值的平均水平、集中位置、稳定与波动状况、集中与离散程度等 . 均值表示随机变量一切可能值的平均值或集中位置 , 而方差则表示随机变量一切可能值的集中与离散或稳定与波动的程度 , 由于离散型随机变量的均值的计算是从它的概率分布出发 , 因而均值是随机变量的概率平均值 . 题型一 题型二 题型三 【例 1 】 编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号 1,2,3 的三个座位 , 每位学生坐一个座位 . 设与座位编号相同的学生人数是 X. (1) 求随机变量 X 的概率分布 ; (2) 求随机变量 X 的期望与方差 . 分析与座位编号相同的学生人数只能是 0,1,3 . 求出 X 的分布列再根据公式求期望与方差 . 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思 求离散型随机变量 X 的期望与方差的步骤 :(1) 写出 X 的所有取值 ;(2) 计算 P ( X=X i );(3) 写出 X 的分布列 ;(4) 利用定义法求出期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) 的值 . 题型一 题型二 题型三 【例 2 】 已知离散型随机变量 X 的分布列为 另一离散型随机变量 Y= 2 X- 3, 求 D ( Y ) . 分析解答本题的关键是弄清已知 D ( X ), Y= 2 X- 3, 怎样求 D ( Y ), 我们可直接运用公式计算 , 即 D ( Y ) = 2 2 · D ( X ) . 解 : 由题知 E ( X ) = 1 × 0 . 1 + 2 × 0 . 2 + 3 × 0 . 4 + 4 × 0 . 2 + 5 × 0 . 1 = 3, D ( X ) = (1 - 3) 2 × 0 . 1 + (2 - 3) 2 × 0 . 2 + (3 - 3) 2 × 0 . 4 + (4 - 3) 2 × 0 . 2 + (5 - 3) 2 × 0 . 1 = 1 . 2 . 因为 Y= 2 X- 3, 所以 D ( Y ) = 2 2 · D ( X ) = 2 2 × 1 . 2 = 4 . 8 . 题型一 题型二 题型三 反思 像这类求离散型随机变量函数的方差的问题 , 利用公式 D ( aX+b ) =a 2 D ( X ) 来求 , 既避免了求离散型随机变量 Y 的分布列又避免了大量的计算 , 这是解答这类题的主要方法 . 题型一 题型二 题型三 【例 3 】 有甲、乙两种钢筋 , 从中各抽取等量样品检查它们的抗拉强度指标 , 如下表 : 其中 ξ 甲 , ξ 乙 分别表示甲、乙两种钢筋的抗拉强度 , 在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于 120, 试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量更好 . 分析 通过计算期望、方差来比较质量 . 题型一 题型二 题型三 解 : 由题意 , 得 E ( ξ 甲 ) = 0 . 1 × 110 + 0 . 2 × 120 + 0 . 4 × 125 + 0 . 1 × 130 + 0 . 2 × 135 = 125, E ( ξ 乙 ) = 0 . 1 × 100 + 0 . 2 × 115 + 0 . 4 × 125 + 0 . 1 × 130 + 0 . 2 × 145 = 125, D ( ξ 甲 ) = (110 - 125) 2 × 0 . 1 + (120 - 125) 2 × 0 . 2 + (125 - 125) 2 × 0 . 4 + (130 - 125) 2 × 0 . 1 + (135 - 125) 2 × 0 . 2 = 50, D ( ξ 乙 ) = (100 - 125) 2 × 0 . 1 + (115 - 125) 2 × 0 . 2 + (125 - 125) 2 × 0 . 4 + (130 - 125) 2 × 0 . 1 + (145 - 125) 2 × 0 . 2 = 165, 由 E ( ξ 甲 ) =E ( ξ 乙 ) 知 , 甲、乙两种钢筋平均抗拉强度相等 , 且平均抗拉强度都不低于 120, 由 D ( ξ 甲 )