2018年秋人教B版数学选修1-1 2.3.2抛物线的几何性质.ppt

一、抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0) 的几何性质 1 . 范围 因为 p> 0, 由方程 y 2 = 2 px ( p> 0) 可知 , 这条抛物线上任意一点 M 的坐标 ( x , y ) 满足不等式 x ≥ 0 , 所以这条抛物线在 y 轴的 右 侧 ; 当 x 的值增大时 , |y| 也 增大 , 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 , 它开口向右 . 2 . 对称性 以 -y 代 y , 方程 y 2 = 2 px ( p> 0) 不变 , 因此这条抛物线是以 x 轴为对称轴的轴对称图形 . 抛物线的对称轴叫做抛物线的 轴 . 3 . 顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 顶点 , 在方程 y 2 = 2 px ( p> 0) 中 , 当 y= 0 时 , x= 0, 因此这条抛物线的顶点就是 坐标原点 . 4 . 离心率 抛物线上的点到焦点和准线的距离的比 , 叫做抛物线的 离心率 , 用 e 表示 . 按照抛物线的定义 , e= 1 . 【做一做 1 】 抛物线 y 2 = 4 x 的顶点坐标是 　　　 , 对称轴是 　　　 .  答案 : (0,0) 　 x 轴 ( 直线 y= 0) 名师点拨 抛物线的性质和椭圆、双曲线的区别 : 抛物线的离心率等于 1, 它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线 . 它没有中心 , 通常称抛物线为无心圆锥曲线 , 而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线 . 二、抛物线四种形式的标准方程 在直角坐标平面上 , 顶点在原点、轴与 坐标轴 重合的抛物线有四种位置情况 , 因此抛物线的方程相应地有 四种 形式 , 它们都叫做抛物线的标准方程 . 设抛物线的焦参数为 p ( p> 0), 抛物线的标准方程的四种形式列表如下 : 【做一做 2 】 抛物线 x 2 = 4 y 的焦点坐标为 　　　 , 准线方程为 　　　 .  答案 : (0,1) 　 y=- 1 名师点拨 (1) 对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析 , 其共同点 : ① 顶点都为原点 ; ② 对称轴为坐标轴 ; ③ 准线与对称轴垂直 , 垂足与焦点分别关于原点对称 , 它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ; ④ 焦点到准线的距离均为 p. 其不同点 : ① 对称轴为 x 轴时 , 方程的右端为 ± 2 px , 左端为 y 2 ; 对称轴为 y 轴时 , 方程的右端为 ± 2 py , 左端为 x 2 ; ② 开口方向与 x 轴 ( 或 y 轴 ) 的正半轴相同 , 焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 的正半轴上 , 方程的右端取正号 , 开口方向与 x 轴 ( 或 y 轴 ) 的负半轴相同 , 焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 的负半轴上 , 方程的右端取负号 . (2) 只有焦点在坐标轴上 , 顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程 . 1 . 焦参数 p 与抛物线的开口之间有什么关系 ? 剖析 : p 是抛物线焦点到准线的距离 , 由方程 y 2 = 2 px 知 , 对于同一个 x 的值 , p 值越大 , |y| 也越大 , 不妨说抛物线开口也越大 , 这样可以较好地理解不同的 p 值与抛物线开口大小的关系 . 2 . 如何确定抛物线的对称轴和开口方向 ? 剖析 : 已知抛物线的标准方程 , 求它的焦点坐标和准线方程时 , 首先要判断抛物线的对称轴和开口方向 . 一次项的变量若为 x ( 或 y ), 则 x 轴 ( 或 y 轴 ) 是抛物线的对称轴 , 一次项系数的符号决定开口方向 . 例如 , 抛物线的方程为 x 2 =- 4 y , 则 y 轴为其对称轴 , 开口方向和 y 轴的正方向相反 . 归纳总结 对称轴要看一次项 , 符号确定开口方向 , 如果 y 是一次项 , y 的系数为负时开口向下 , y 的系数为正时开口向上 . 如果 x 是一次项 , x 的系数为负时开口向左 , x 的系数为正时开口向右 . 题型一 题型二 题型三 题型四 根据方程研究性质 【例 1 】 已知抛物线的标准方程如下 , 分别求出它们的焦点坐标和准线方程 . (1) x 2 =- 8 y ; 　　　　 (2)2 y 2 + 7 x= 0 . 分析 : 先把所给方程化为标准方程 , 求出 p , 再根据开口方向 , 写出焦点坐标和准线方程 . 解 : (1) 由抛物线的标准方程知抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上 , 开口向下 . ∵ p= 4, ∴ 焦点坐标为 (0, - 2), 准线方程为 y= 2 . 题型一 题型二 题型三 题型四 求抛物线的标准方程 【例 2 】 求分别符合下列条件的抛物线的标准方程 . (1) 过点 ( - 3,2);(2) 焦点在直线 x- 2 y- 4 = 0 上 . 分析 : 根据已知条件求出抛物线标准方程中的 p 即可 , 注意标准方程的形式 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 求抛物线方程常用待定系数法 , 当抛物线类型不确定时 , 要注意讨论 题型一 题型二 题型三 题型四 抛物线的简单应用 【例 3 】 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 , 光源位于抛物线的焦点处 , 已知灯口圆的直径为 60 cm, 灯深为 40 cm, 求抛物线的标准方程和焦点坐标 . 分析 : 建立适当的坐标系确定抛物线上一点的坐标 , 从而确定焦参数 p , 求得其方程 . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 解决本题的关键是建立适当的坐标系 , 求出抛物线的标准方程 , 进而求出焦点坐标 . 题型一 题型二 题型三 题型四 易错题型 【例 4 】 设抛物线 y 2 =mx ( m ≠0) 的准线与直线 x= 1 的距离为 3, 求抛物线方程 . 2 过点 ( - 1,2) 的抛物线的标准方程为 　　　　　　 .   3 焦点在直线 x+y= 1 上的抛物线的标准方程为 　　　　　　　　 . 4 设抛物线 x 2 =my ( m ≠0) 的焦点到直线 y= 1 的距离为 2, 则 m= _____ . 5 正三角形的一个顶点位于坐标原点 , 另外两个顶点在抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0) 上 , 求这个正三角形的边长 .