2019届中考数学总复习第12课时二次函数ppt课件.ppt

第 12 课时　二次函数 考点梳理 自主测试 考点一 　 二次函数的概念 一般地,如果 y= ax 2 +bx+c ( a , b , c 是常数, a ≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数 . 任意一个二次函数都可化成 y=ax 2 +bx+c ( a , b , c 是常数, a ≠0)的形式,因此 y=ax 2 +bx+c ( a ≠0)叫做二次函数的 一般形式 . 注意 : 1 . 二次项系数 a ≠0; 2 .ax 2 +bx+c 必须是整式 ; 3 . 一次项系数可以为零 , 常数项也可以为零 , 一次项系数和常数项可以同时为零 ; 4 . 自变量 x 的取值范围是全体实数 . 考点二 　 二次函数的图象及性质 考点梳理 自主测试 考点梳理 自主测试 考点三 　 二次函数图象的特征与 a , b , c 及 b 2 - 4 ac 的符号之间的关系 考点梳理 自主测试 考点四 　 二次函数图象的平移 抛物线 y=ax 2 与 y=a ( x-h ) 2 , y=ax 2 +k , y=a ( x-h ) 2 +k 中 a 相同,则图象的 形状 和大小都相同,只是位置的不同 . 它们之间的平移关系如下: 考点梳理 自主测试 考点五 　 二次函数关系式的确定 1 . 设一般式 : y=ax 2 +bx+c ( a ≠0) 若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式 y=ax 2 +bx+c ( a ≠0),将已知条件代入,求出 a , b , c 的值 . 2 . 设交点式 : y=a ( x-x 1 )( x-x 2 )( a ≠0) 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标,则设交点式: y=a ( x-x 1 )( x-x 2 )( a ≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数 a ,最后将关系式化为一般式 . 3 . 设顶点式 : y=a ( x-h ) 2 +k ( a ≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式: y=a ( x-h ) 2 +k ( a ≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式 . 考点梳理 自主测试   考点梳理 自主测试 考点七 　 二次函数的应用 1 . 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题 . 2 . 建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键 . 考点梳理 自主测试 1 . 抛物线 y= ( x- 2) 2 + 3 的顶点坐标是 ( 　　 ) A.(2,3) B.( - 2,3) C.(2, - 3) D.( - 2, - 3) 答案 : A 2 . 在二次函数 y=-x 2 + 2 x+ 1 的图象中 , 若 y 随 x 的增大而增大 , 则 x 的取值范围是 ( 　　 ) A. x< 1 B. x> 1 C. x- 1 答案 : A 3 . 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图 , 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. a> 0 B. c< 0 C. b 2 - 4 ac< 0 D. a+b+c> 0 答案 : D 考点梳理 自主测试 4 . 把抛物线 y=-x 2 向左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为( 　　 ) A. y=- ( x- 1) 2 - 3 B. y=- ( x+ 1) 2 - 3 C. y=- ( x- 1) 2 + 3 D. y=- ( x+ 1) 2 + 3 答案: D 5 . 若二次函数 y=-x 2 + 2 x+k 的部分图象如图,则关于 x 的一元二次方程 -x 2 + 2 x+k= 0的一个解 x 1 = 3,另一个解 x 2 = 　　　　　 .  答案: - 1 考点梳理 自主测试 6 . 函数 y=x 2 + 2 x+ 1,当 y= 0时, x= 　　　　 ;当1 - 1 时 , y 随 x 的增大而增大 . 当 1 - 1, ∴ y 随 x 的增大而增大 . 答案: - 1 　 增大 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 1 　 二次函数的图象及性质 【例 1 】 (1)二次函数 y=- 3 x 2 - 6 x+ 5的图象的顶点坐标是( 　　 ) A.( - 1,8) B.(1,8) C.( - 1,2) D.(1, - 4) (2)已知抛物线 y=ax 2 +bx+c ( a> 0)的对称轴为直线 x= 1,且经过点( - 1, y 1 ),(2, y 2 ),试比较 y 1 和 y 2 的大小: y 1 _______ y 2 . (填“ > ”“ < ”或“ = ”) 解析: (1) 抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求 . 所以二次函数 y=- 3 x 2 - 6 x+ 5 的图象的顶点坐标是 ( - 1,8) . 故选 A. 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 (2) 点 ( - 1, y 1 ),(2, y 2 ) 不在对称轴的同一侧 , 不能直接利用二次函数的增减性来判断 y 1 , y 2 的大小 , 可先根据抛物线关于对称轴的对称性 , 再用二次函数的增减性即可 . 设抛物线经过点 (0, y 3 ), 因为抛物线对称轴为直线 x= 1, 所以点 (0, y 3 ) 与点 (2, y 2 ) 关于直线 x= 1 对称 . 则 y 3 =y 2 . 又 a> 0, 所以当 x< 1 时 , y 随 x 的增大而减小 . 则 y 1 >y 3 . 故 y 1 >y 2 . 答案 : (1)A 　 (2) > 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 2 　 利用二次函数图象判断 a , b , c 的符号 【例 2 】 二次函数 y=ax 2 +bx+c ( a ≠0)的部分图象如图所示,图象过点( - 1,0),对称轴为直线 x= 2 . 下列结论: ① 4 a+b= 0; ② 9 a+c> 3 b ; ③ 8 a+ 7 b+ 2 c> 0; ④ 当 x>- 1时, y 的值随 x 值的增大而增大 . 其中正确的结论有( 　　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 : 因为对称轴为直线 x= 2, 所以 - = 2, 所以 4 a+b= 0, 所以 ① 正确 ; 因为当 x=- 3 时 ,9 a- 3 b+c< 0, 所以 9 a+c< 3 b , 所以 ② 错误 ; 易知 a< 0, b> 0, c> 0, 又因为 4 a+b= 0, 所以 8 a+ 7 b+ 2 c=- 2 b+ 7 b+ 2 c= 5 b+ 2 c> 0, 所以 ③ 正确 ; 因为当 x> 2 时 , y 的值随 x 值的增大而减小 , 所以 ④ 错误 . 所以正确的有 2 个 . 故选 B . 答案 : B 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 变式训练 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c ( a ≠0) 的图象如图 , 有下列结论 : ① b 2 - 4 ac> 0; ② abc> 0; ③ 8 a+c> 0; ④ 9 a+ 3 b+c< 0 . 其中 , 正确结论的个数是 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 : 由图象知 , 抛物线与 x 轴有两个交点 , 则 b 2 - 4 ac> 0, 故 ① 正确 ; 与 y 轴交于负半轴 , 则 c< 0, 开口向上 , 则 a> 0, 对称轴 x=- = 1, b=- 2 a< 0, 则 abc> 0, 故 ② 正确 ; 当 x=- 2 时 , y> 0, 此时 y= 4 a- 2 b+c= 4 a- 2( - 2 a ) +c= 8 a+c> 0, 故 ③ 正确 ; x= 1 是抛物线的对称轴 , 由图象知抛物线与 x 轴的正半轴的交点在 3 与 4 之间 , 则当 x= 3 时 , y< 0, 即 y= 9 a+ 3 b+c< 0, ④ 正确 , 即正确结论有 4 个 . 答案 : D 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 3 　 二次函数图象的平移 【例 3 】 将抛物线 y=x 2 - 2 x+ 3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为( 　　 ) A. y= ( x- 1) 2 + 4 B. y= ( x- 4) 2 + 4 C. y= ( x+ 2) 2 + 6 D. y= ( x- 4) 2 + 6 解析: ∵ y=x 2 - 2 x+ 3 = ( x- 1) 2 + 2, ∴ 向上平移 2 个单位长度 , 再向右平移 3 个单位长度后 , 得到的解析式为 y= ( x- 1 - 3) 2 + 2 + 2, 即 y= ( x- 4) 2 + 4 . 故选 B . 答案: B 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 4 　 确定二次函数的解析式 【例 4 】 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A ( - 2,0), B (1,0),且经过点 C (2,8) . (1)求该抛物线的表达式; (2)求该抛物线的顶点坐标 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 5 　 求二次函数的最大 ( 小 ) 值 【例 5 】 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c ( a< 0)的图象如图,当 - 5 ≤ x ≤ 0时,下列说法正确的是( 　　 ) A.有最小值 - 5,最大值0 B.有最小值 - 3,最大值6 C.有最小值0,最大值6 D.有最小值2,最大值6 解析: 由二次函数的图象 , 得当 x=- 5 时 , y=- 3; 当 x=- 2 时 , y= 6; 当 x= 0 时 , y= 2 . ∵ - 5 ≤ x ≤ 0, ∴ - 3 ≤ y ≤ 6 . 故选 B . 答案: B 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 6 　 二次函数与一元二次方程的关系 【例 6 】 若关于 x 的一元二次方程( x- 2)( x- 3) =m 有实数根 x 1 , x 2 ,且 x 1 ≠ x 2 ,有下列结论: ① x 1 = 2, x 2 = 3; ② m>- ; ③ 二次函数 y= ( x-x 1 )( x-x 2 ) +m 的图象与 x 轴交点的坐标为(2,0)和(3,0) . 其中,正确结论的个数是( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 因式分解求方程的解,右边应化为 0, 而现在方程右边为 m , 所以 ① 错误 ; 方程可化简为 x 2 - 5 x+ 6 -m= 0, 则 Δ= 5 2 - 4(6 -m ) > 0, 可解出 m> - , 所以 ② 正确 ; 二次函数可化简为 y=x 2 - ( x 1 +x 2 ) x+x 1 x 2 +m , 由根与系数的关系 , x 1 +x 2 = 5, x 1 x 2 = 6 -m , ∴ y=x 2 - 5 x+ 6 -m+m , 即 y=x 2 - 5 x+ 6, 则此二次函数与 x 轴交点的坐标为 (2,0) 和 (3,0), 所以 ③ 正确 . 故选 C . 答案: C 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 命题点 7 　 二次函数的实际应用 【例 7 】 如图,抛物线 y=-x 2 +bx+c 与 x 轴交于 A , B 两点,与 y 轴交于点 C ,点 D 为抛物线的顶点,点 E 在抛物线上,点 F 在 x 轴上,四边形 OCEF 为矩形,且 OF= 2, EF= 3 . (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)求 △ ABD 的面积; (3)将三角形 AOC 绕点 C 逆时针旋转90°,点 A 对应点为点 G ,问点 G 是否在该抛物线上?请说明理由 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7 解 : (1) 因为四边形 OCEF 为矩形 , OF= 2, EF= 3, 所以点 C 的坐标 (0,3), 点 E 的坐标为 (2,3) . 把 x= 0, y= 3; x= 2, y= 3 分别代入 y=-x 2 +bx+c 中 所以抛物线所对应的函数关系式为 y=-x 2 + 2 x+ 3 . (2) 因为 y=-x 2 + 2 x+ 3 =- ( x- 1) 2 + 4, 所以抛物线的顶点坐标为 (1,4) . 所以在 △ ABD 中 AB 边上的高为 4, 令 y= 0, 得 -x 2 + 2 x+ 3 = 0, 解之得 , x 1 =- 1, x 2 = 3, 所以 AB= 3 - ( - 1) = 4 . 于是 △ ABD 的面积为 . (3) △ AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°, CO 落在 CE 所在的直线上 , 又由 (2) 可知 , OA= 1, 所以点 A 的对应点 G 的坐标为 (3,2) . 当 x= 3 时 , y=- 3 2 + 2 × 3 + 3 = 0≠2, 所以点 G 不在该抛物线上 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 6 命题点 7