第五章　生活中的轴对称.docx

七年级数学 · 下 新课标 [ 北师 ] 第五章 生活中的轴对称 学习新知 检测反馈 3 简单的轴对称图形 ( 第 3 课时 ) 学 习 新 知 问题思考 前面我们学习了基本图形 “ 线段 ” 是轴对称图形 , 那么 , 我们之前学过的另一个基本图形 “ 角 ” 是不是轴对称图形 ? 如果是 , 对称轴是怎样的直线 ? 【 活动内容 】 　 不利用工具 , 请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角 . 你有什么办法 ? 对折 , 再打开纸片 , 看看折痕与这个角有何关系 ? 角平分线的性质 3 . 过点 C 折 OB 边的垂线 , 得到新的折痕 CE , 点 E 是折痕与 OB 边的交点 , 即垂足 ; 折纸要求 : 请同学们按要求继续前面的折纸活动 , 并与同伴交流 . 1 . 在折痕 ( 即∠ AOB 的角平分线 ) 上任意找一点 C ; C 2 . 过点 C 折 OA 边的垂线 , 得到新的折痕 CD , 点 D 是折痕与 OA 边的交点 , 即垂足 ; D 4 . 将∠ AOB 再次对折 . E 【 问题 】 　 在上述的操作过程中 , 折痕 CD 与 CE 能重合吗 ? 改变点 C 的位置 , CD 与 CE 还相等吗 ? 你能解释其中的道理吗 ? 已知 : 如图∠ AOC =∠ BOC , CD ⊥ OA , 垂足为 D , CE ⊥ OB , 垂足为 E , CD 与 CE 相等吗 ? 试说明理由 . 结论 : 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . 解 : 因为 CD ⊥ OA , CE ⊥ OB , 所以∠ CDO =∠ CEO =90° . 在△ CDO 和△ CEO 中 , ∠ CDO =∠ CEO ,∠ COD =∠ COE , OC = OC , 所以△ CDO ≌△ CEO. 所以 CD = CE. 符号语言 : 因为 OC 平分∠ AOB , CD ⊥ OA , CE ⊥ OB , 所以 CD = CE. 【 即时训练 】 　 判断下列说法是否正确 . 如图所示 . 1 . 因为 OC 平分∠ BOA , 所以 CD = CE. ( 　　 ) 2 . 因为 CD ⊥ OA , CE ⊥ OB , 所以 CD = CE. ( 　　 ) 3 . 因为 OC 平分∠ AOB , CD ⊥ OA , CE ⊥ OB , 所以 CD = CE. ( 　 　 ) 尺规作角的平分线 已知 :∠ AOB. 求作 : 射线 OC , 使∠ AOC =∠ BOC. (3) 作射线 OC. 则 OC 是∠ AOB 的平分线 . 作法 : (1) 在∠ AOB 的两边 OA 和 OB 上分别截取 OD , OE , 使 OD = OE. (2) 分别以 D , E 为圆心 , 以大于 DE 的长为半径作弧 , 两弧在∠ AOB 内交于点 C. D E C 你能说明这样作的道理吗 ? 想一想 : 在作图的过程中有哪些相等的线段 ? 角平分线性质的应用 一条公路与一条铁路所成角的平分线上有一点 P , 要从点 P 建两条路 , 一条到公路上 , 一条到铁路上 , 怎样修建距离最短 ? 这两条路有什么关系 ? 理由是什么 ? 设公路与铁路交于点 O , 公路为 OA , 铁路为 OB , 过点 P 分别作 PM ⊥ OA 于点 M , PN ⊥ OB 于点 N , 则 PM 是到公路上的路 , PN 是到铁路上的路 ( 垂线段最短 ) . 因为点 P 在公路与铁路所成角的平分线上 , 所以 PM = PN. 【 变式一 】 　 如图 (1) 所示 , 要在 X 区建一个货物中转站 , 使它到三条公路的距离相等 , 请问 : 中转站应建在何处 ? 中转站应在三角形的三个内角的平分线上 , 故作出∠ ABC 和∠ ACB 的内角平分线 , 它们的交点 P 即是所求 ( 如图 (2) 所示 ) . 【 变式二 】 　 如图 (3) 所示 , 要在 Y 区建一个货物中转站 , 使它到三条公路的距离相等 , 请问 : 中转站应建在何处 ? 如图 (4) 所示 , 分别作∠ BAC ,∠ BCA 的外角的平分线 , 则它们的交点 P 就是所求 , 通过我们上面的说理 , 很显然 , PD = PE = PF , 即点 P 在 Y 区到三条公路的距离相等 . 【 变式三 】 　 如图所示 , a , b , c 表示三条相互交叉的公路 , 现要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距离相等 , 则可选择的地址有几处 ? 作出∠ ABC 和∠ BAC 的外角平分线 , 它们的交点 P 4 也是其中之一 . 作出∠ ABC 和∠ ACB 的内角平分线 , 它们的交点 P 1 即是其中之一； 作出∠ BAC 和∠ ACB 的外角平分线 , 它们的交点 P 2 也是其中之一； 作出∠ BCA 和∠ ABC 的外角平分线 , 它们的交点 P 3 也是其中之一； 综上所述 , 可选择的地址有 P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , 共四处 . 检测反馈 1 . 如图所示 , OP 平分∠ MON , PA ⊥ ON 于点 A , 点 Q 是射线 OM 上的一个动点 , 若 PA =2, 则 PQ 的最小值为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 2 . 如图所示 , OP 平分∠ AOB , PA ⊥ OA , PB ⊥ OB , 垂足分别为 A , B. 下列结论中不一定成立的是 ( 　　 ) A . PA = PB B . PO 平分∠ APB C . OA = OB D . AB 垂直平分 OP D 3 . 如图所示 , 在△ ABC 中 ,∠ C =90°, AC = BC , AD 平分∠ CAB 交 BC 于 D , DE ⊥ AB 于 E , 且 AB =6 cm , 则△ DEB 的周长为 ( 　　 ) A.4 cm B.6 cm C.10 cm D. 不能确定 B 4 . 如图所示 , MP ⊥ NP , MQ 为△ MNP 的角平分线 , MT = MP , 连接 TQ , 则下列结论中不正确的是 ( 　　 ) A . TQ = PQ B .∠ MQT =∠ MQP C .∠ QTN =90° D .∠ NQT =∠ MQT D