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3. 线段的垂直平分线 知识点一 知识点二 知识点一 　 线段的垂直平分线的性质 定理 : 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 拓展归纳 理解线段的垂直平分线性质的要点 :(1) 这里的线段垂直平分线上的点是指该直线上任意一点 . (2) 这里的距离是指线段垂直平分线上的点与线段两个端点间线段的长度 . 知识点一 知识点二 例 1 　 如图 , 在 △ ABC 中 , 线段 BC 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D. ( 1) 若 AB= 5, AC= 8, 求 △ ABD 的周长 ; (2) 若 △ ABD 的周长为 13, △ ABC 的周长为 20, 求 BC 的长 . 分析 : (1) 由 DE 垂直平分线段 BC → DB=DC → △ ABD 的周长等于 ( AB+AC ) 的长度 . (2) △ ABC 的周长等于 AB+AC+BC → △ ABC 与 △ ABD 的周长之差等于 BC 的长度 . 知识点一 知识点二 解 : ( 1) ∵ DE 是 BC 的垂直平分线 , ∴ DB=DC ( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ) . ∴ △ ABD 的周长为 AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC= 13 . (2) 由 (1) 知 △ ABD 的周长等于 ( AB+AC ) 的长度 . ∵ △ ABC 的周长为 ( AB+AC+BC ) 的长度 , ∴ BC 等于 △ ABC 的周长与 △ ABD 的周长之差 , 即 BC= 20 - 13 = 7 . 知识点一 知识点二 知识点二 　 线段的垂直平分线的判定 定理 : 到一条线段两个端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 . 拓展归纳 (1) 判定一条直线是线段的垂直平分线必须说明该直线上有两个点到线段两个端点的距离相等 . (2) 线段垂直平分线的判定与性质是题设与结论互换的两个命题 . 线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合 . 知识点一 知识点二 例 2 　 如图所示 , 已知 AD 是 △ ABC 的角平分线 , DE ⊥ AB , DF ⊥ AC , 垂足分别是 E , F. 求证 : AD 垂直平分 EF. 分析 : 要证 AD 垂直平分 EF , 即证 A , D 分别在 EF 的垂直平分线上 , 即证 AE=AF , DE=DF. 证明 : ∵ AD 是 △ ABC 的角平分线 , ∴ ∠ BAD= ∠ CAD. ∵ DE ⊥ AB , DF ⊥ AC , ∴ ∠ AED= ∠ AFD= 90 ° . 又 AD=AD , ∴ △ AED ≌ △ AFD (AAS) . ∴ DE=DF , AE=AF. ∴ A , D 在 EF 的垂直平分线上 ( 线段垂直平分线的判定定理 ), 即 AD 垂直平分 EF. 知识点一 知识点二 拓展点一 拓展点二 拓展点一 　 三角形三边的垂直平分线 例 1 　 如图所示 , 已知 △ ABC , 你能找一点 O , 使它到其三个顶点的距离相等吗 ? 若能 , 请说明理由 . 分析 : 由线段垂直平分线的性质知 , 这样的点 O 在边 AB , BC , AC 的垂直平分线上 . 拓展点一 拓展点二 解 : 能 找到 . 理由如下 : 如图 , 设边 AB , BC 的垂直平分线交于点 O , 连接 OA , OB , OC. ∵ 点 O 在线段 AB 的垂直平分线上 , ∴ OA=OB ( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ) . 同理 OB=OC. ∴ OA=OB=OC. 故点 O 到 △ ABC 三个顶点的距离相等 . 拓展点一 拓展点二 拓展点一 拓展点二 拓展点二 　 线段的垂直平分线的有关作图 例 2 　 如图所示 , A , B , C 三个村庄的干部商议合建一处村民文化活动中心 . 为了使三个村的村民到该活动中心的距离相等 , 活动中心应建在什么地方 ? 请用尺规作图的方法在图上找出建活动中心的位置 . ( 不写作法 , 保留作图痕迹 . ) 分析 : 连接三点构成一个三角形 , 然后作出这个三角形的两边的垂直平分线 , 相交于一点 , 该点所在的位置就是所要建活动中心的位置 . 拓展点一 拓展点二 作法 : 如 图所示 . (1) 连接 AB , BC ; (2) 分别作 AB , BC 的垂直平分线交于点 P. 点 P 所在的位置 , 即建活动中心的位置 . 拓展点一 拓展点二 P22 想一想 答案 逆命题 : 到一条线段两端点距离相等的点 , 在这条线段的垂直平分线上 . 这是个真命题 . 证明思路 , 如 : 已知 PA=PB , (1) 过点 P 作已知线段 AB 的垂线段 PC , 再证明点 C 平分 AB ; (2) 取 AB 的中点 C , 再证明 PC ⊥ AB ; (3) 作 ∠ APB 的平分线 PC , 证明 PC ⊥ AB , 且 AC=BC. 下面给出第 (1) 种思路的完整证明过程 , 其他证明过程由同学们自己完成 . 已知 : 如图所示 , PA=PB. 求证 : 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . 证明 过点 P 作 PC ⊥ AB , C 为垂足 , 则 ∠ PCA= ∠ PCB= 90 ° . ∵ PC=PC , PA=PB , ∴ Rt △ PCA ≌ Rt △ PCB (HL) . ∴ AC=BC ( 全等三角形的对应边相等 ) . ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . P23 问题 答案 还有其他证法 . 证明 ∵ AB=AC , OB=OC , AO=AO , ∴ △ AOB ≌ △ AOC (SSS) . ∴ ∠ BAO= ∠ CAO , 即 AO 平分 ∠ BAC. ∴ AO 垂直平分 BC ( 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 ) . P23 随堂练习 证明 ∵ AB 是 CD 的垂直平分线 , ∴ EC=ED , FC=FD , ∴ ∠ ECD= ∠ EDC , ∠ FCD= ∠ FDC. ∴ ∠ ECD+ ∠ FCD= ∠ EDC+ ∠ FDC. ∴ ∠ ECF= ∠ EDF. 习题 1 . 7 1 . 解 ∵ AB=AC , ∵ AB 的垂直平分线是 EF , ∴ FA=FB. ∴ ∠ B= ∠ BAF= 30 ° . ∴ ∠ AFC= ∠ B+ ∠ BAF= 30 ° + 30 ° = 60 ° . ∴ ∠ AFC= 60 ° . 2 . 解 所有顶点都在 AB 的垂直平分线上 ( 垂足除外 ) . 3 . 解 ∵ DE 垂直平分 AB , ∴ AE=BE. ∵ △ BEC 的周长为 BC+BE+EC= 50, ∴ BC+EC+AE= 50, 即 BC+AC= 50 . ∵ AC= 27, ∴ BC= 50 - 27 = 23 . 4 . 作法 : 如图 ,(1) 连接 AB ; (2) 作 AB 的垂直平分线交河岸于 C 点 , 则 C 点即为所求 . P24 议一议 答案 (1) 能 ; 无数个 ; 不全等 . (2) 能 . P25 做一做 答案 能 . 小明先作了 PA=PB , 然后作了线段 AB 的垂直平分线 . P26 议一议 作法 : 1 . 以 P 为圆心 , 以任意长为半径作弧 , 交直线 l 于 A , B 两点 . 2 . 分别以 A , B 为圆心 , 以 PA 的长为半径作弧 , 两弧交于一点 Q. 3 . 作直线 PQ , 直线 PQ 垂直于 l . P26 随堂练习 相等的线段有 : AO=BO , AE=BE , AD=DC , AF=FC . C △ AEF =AE+EF+FA=BE+EF+FC=BC= 2 . ∴ △ AEF 的周长为 2 . 习题 1 . 8 1 . 已知 : 线段 a. 求作 : △ ABC , 使得 AB=AC , BC=a , BC 边上的高 AD= a . 作法 : 如图 ,(1) 作射线 BM , 在 BM 上截取 BC=a ; ( 2) 作 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于 D 点 ; (3) 截取 AD= a ; (4) 连接 AB , AC , 则 △ ABC 即为所求 . 这个等腰三角形是一个等腰直角三角形 . 2 . 解 (1) 如图 , 过 B 作 AC 的垂线 , 交 AC 于点 O , 则 BO 即为 AC 边上的高 . (2) 延长 CB , 过 A 作 CB 延长线的垂线交延长线于 F 点 .AF 即为 BC 边上的高 . 3 . 提示 (1)(2) 作 △ PQR 的两边的垂直平分线 , 其交点即为体育中心 G 的位置 . (3) 旨在引发同学们对这一现实问题的进一步思考 . 实际上 , 对这类选址问题 , 从不同角度考虑会有不同的结论 . 4 . 解 应选方案 (3) . 为方便起见 , 不妨设等边 △ ABC 边长为 a , 则对于方案 (1) 有 AB+BC= 2 a ;