八年级数学
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[
北师
]
第一章 三角形的证明
学习新知
检测反馈
1
等腰三角形（第
1
课时）
学 习 新 知
问题思考
我们已经证明了有关平行线的一些结论
,
运用下面的公理和已经证明的定理
,
我们还可以证明有关三角形的一些结论
.
我们已学过的部分基本事实
:
1
.
两条直线被第三条直线所截
,
如果同位角相等
,
那么这两条直线平行；
2
.
两条平行直线被第三条直线所截
,
同位角相等；
3
.
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
(
SAS
)
；
4
.
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
(
ASA
)
；
5
.
三边对应相等的两个三角形全等
(
SSS
)
.
通过上面的这些结论
,
我们能否证明等腰三角形的底角相等呢
?
等腰三角形的两底角相等
按图示的方法先独自折纸观察
,
再探索并写出等腰三角形的性质
.
定理
:
等腰三角形的两底角相等
.
这一定理可以简述为
:
等边对等角
.
已知
:
如图所示，在△
ABC
中，
AB
=
AC.
求证∠
B
=∠
C.
〔
解析
〕
我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等
.
实际上
,
折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形
.
这启发我们
,
可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形
,
从而证明这两个底角相等
.
证明
:
取
BC
的中点
D
，
连接
AD.
(
如图所示
)
∵
AB
=
AC
，
BD
=
CD
，
AD
=
AD
，
∴△
ABD
△≌△
ACD
(
SSS
)
.
∴∠
B
=∠
C
(
全等三角形的对应角相等
)
.
三线合一
推论
:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
.
证明
:
过顶点
A
作∠
BAC
的平分线
AD
,
交
BC
于点
D
,
∵
AD
是△
ABC
中的角平分线
,
∴∠
BAD
=∠
CAD.
在△
ABD
和△
ACD
中，
∴△
ABD
≌△
ACD
(
SAS
),
∴
BD
=
CD
(
全等三角形的对应边相等
),
∠
ADB
=∠
ADC
(
全等三角形的对应角相等
)
.
∴
AD
是
BC
边上的中线
,
∠
BDA
=90°,
∴
AD
是
BC
边上的高
,
∴
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
.
[
知识拓展
]
“
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
”
的定理是将
“
等腰三角形
”
作为一个前提条件得到的三个真命题
,
在学习等腰三角形的性质定理后
,
可将该定理作如下的延伸
.
如图所示，已知△
ABC
，
①
AB
=
AC
，
②∠1=∠2
，
③
AD
⊥
BC
，
④
BD
=
DC
中，若其中任意两组成立
,
可推出其余两组成立
.
检测反馈
解析
:
等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条
.
故选
B
.
1
.
一个等腰非等边三角形中
,
它的角平分线、中线及高线的条数共为
(
重合的算一条
) (
)
A.9 B.7 C.6 D.5
B
2
.
在△
ABC
中
,
如果
AB
=
AC
,
那么在这个三角形中
,
重合的线段是
(
)
A
.∠
A
的平分线，
AB
边上的中线，
AB
边上的高线
B
.∠
A
的平分线，
BC
边上的中线，
BC
边上的高线
C
.∠
B
的平分线，
AC
边上的中线，
AC
边上的高线
D
.∠
C
的平分线，
AB
边上的中线，
AB
边上的高线
解析
:
本题主要考查等腰三角形三线合一的性质
.
故选
B
.
B
解析
:
因为
110°
的角只能是顶角
,
所以其余两角均为
35°
.
故填
35°,35°
.
3
.
若等腰三角形中有一个角为
110
°,
则其余两角分别为
.
解析
:
边长为
6
cm
的边有可能是腰也有可能是底
.
4
.
如果等腰三角形的一边长为
6
cm
,
周长为
14
cm
,
那么另外两边的长分别为
.
35°,35°
6 cm
，
2 cm
或
4 cm
，
4 cm
5
.
如图所示
,
在△
ABC
中，
AB
=
AC
，
D
是
AC
上一点，且
AD
=
BD
=
BC.
求∠
A
的度数
.
解
:
设∠
A
=
x
°,
∵
AD
=
BD
,∴∠1=∠
A.
∴∠2=∠1+∠
A
=2
x
°
.
∵
BD
=
BC
,∴∠
C
=∠2=2
x
°
.
∵
AB
=
AC
,
∴∠
ABC
=∠
C
=2
x
°
.
由三角形内角和定理可知∠
A
+∠
ABC
+∠
C
=180°,
即
5
x
=180,
解得
x
=36
.
∴∠
A
的度数为
36°
.
6
.
(2015·
佛山中考
)
如图所示，
△
ABC
是等腰三角形，
AB
=
AC.
请你用尺规作图将△
ABC
分成两个全等三角形，并说明这两个三角形全等的
理由
.
(
保留作图痕迹
,
不写作法
)
.
解
:
由作图可知∠
BAD
=∠
CAD
，
又
AB
=
AC
，
AD
=
AD
，
则△
ABD
≌△
ACD
(
SAS
)
.
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