22.5 菱形（第2课时）.pptx

八年级数学 · 下 新课标 [ 冀教 ] 第 二十二 章 四边形 学习新知 检测反馈 22.5 菱 形（第 1 课时） 观察思考 （ 1 ）图片中有平行四边形吗？ （ 2 ）这些平行四边形具有哪些特征？其中哪个特征不是平行四边形的性质？ 学 习 新 知 活动 1 　 菱形的定义 结合上面的观察 , 你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗 ? 具有这一特征的平行四边形是什么四边形 ? 口答下面问题 : (1) 上面这些图形都是平行四边形吗 ? (2) 上述图形都有一组邻边相等吗 ? (3) 如果平行四边形有一组邻边相等 , 那么各组邻边都相等吗 ? 菱形的定义 : 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . 活动 2 　 菱形的性质 【想一想】 1 . 菱形是特殊的平行四边形 , 它具有一般平行四边形的所有性质 . 你能列举一些这样的性质吗 ? 2 . 你认为菱形还具有哪些特殊的性质 ? 请你与同伴交流 . 菱形的对边平行且相等 , 对角相等 , 对角线互相平分 . 【做一做】 请同学们用菱形纸片折一折 , 回答下列问题 : 1 . 菱形是轴对称图形吗 ? 如果是 , 它有几条对称轴 ? 对称轴之间有什么位置关系 ? 2 . 菱形中有哪些相等的线段 ? 结论 : 1 . 菱形是轴对称图形 , 有两条对称轴 , 是菱形对角线所在的直线 , 两条对角线互相垂直 . 2 . 菱形的四条边相等 . 3 . 菱形的每条对角线平分一组对角 . 如图所示 , 四边形 ABCD 是菱形 , AB = AD. 求证 :(1) AB = BC = CD = DA. (2) AC ⊥ DB. (3) ∠ ADB = ∠ CDB , ∠ ABD = ∠ CBD , ∠ DAC = ∠ BAC , ∠ DCA = ∠ BCA. 分析 : 菱形不仅两组对边分别相等 , 而且邻边相等 , 这样就可以证明菱形的四条边都相等 ; 因为菱形是平行四边形 , 所以点 O 是对角线 AC 与 BD 的中点 , 可以利用三角形全等来证明 AC ⊥ BD 和角的相等关系 . 证明 :(1)∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AB = CD , AD = CB. 又 ∵ AB = AD , ∴ AB = BC = CD = DA. (2) 在△ ADO 和△ CDO 中 , ∵ DA = DC , DO = DO , AO = CO , ∴ △ ADO ≌△ CDO. ∴ ∠ AOD = ∠ COD. ∵ ∠ AOD + ∠ COD =180°, ∴ ∠ AOD = ∠ COD =90° . ∴ AC ⊥ DB. (3)∵ △ ADO ≌△ CDO , ∴ ∠ ADB = ∠ CDB , ∠ DAC = ∠ DCA. ∵ AB ∥ CD , AD ∥ CB , ∴ ∠ ADB = ∠ CBD , ∠ CDB = ∠ ABD , ∠ DAC = ∠ BCA , ∠ DCA = ∠ BAC. ∴ ∠ ADB = ∠ CDB , ∠ ABD = ∠ CBD , ∠ DAC = ∠ BAC , ∠ DCA = ∠ BCA. 菱形的性质定理 : 菱形的四条边都相等 , 两条对角线互相垂直 , 且每条对角线平分一组对角 . ( 教材第 142 页例 1) 如图所示 , 菱形 ABCD 的周长为 16 cm, ∠ ABC =120°, 求对角线 BD 和 AC 的长 . 解 : ∵ AB + BC + CD + AD =16 cm, ∴ AB = BC = CD = AD = ×16=4(cm) . ∵ BD 平分∠ ABC , ∠ ABC =120°, ∴ ∠ ABD =60° . ∴ △ ABD 是等边三角形 . ∴ BD = AB =4 cm . 在 Rt △ AOB 中 , OB =2 cm, [ 知识拓展 ] 　 (1) 菱形是特殊的平行四边形 , 它具有平行四边形的所有性质 ;(2) 菱形的定义既可以看成菱形的性质 , 也可以看成菱形的判定 . 如图所示 , 四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形 , 其中对角线 BD 的长为 10 cm . 求 : (1) 对角线 AC 的长度 ; (2) 菱形 ABCD 的面积 . 解 : (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形 , AC 与 BD 相交于点 E , ∴ ∠ AED =90°( 菱形的对角线互相垂直 ), DE = BD = ×10=5(cm)( 菱形的对角线互相平分 ) . 在 Rt △ AED 中 , AE = =12(cm) . ∴ AC =2 AE =2×12=24(cm) . (2) 菱形 ABCD 的面积 = △ ABD 的面积 + △ CBD 的面积 =2× △ ABD 的面积 =2× × BD × AE =2× ×10×12 =120(cm 2 ) . 思考： 如果例 2 中 , 已知菱形 ABCD 的两条对角线的长度分别为 12 cm 和 10 cm, 怎样直接计算出菱形的面积 ? 菱形 一组邻边相等 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 课堂小结 检测反馈 1 . 如图所示 , 菱形 ABCD 中 , AB =5,∠ BCD =120°, 则对角线 AC 的长是 ( 　　 ) A.20 B.15 C.10 D.5 解析 : 因为四边形 ABCD 是菱形 , 所以 AB = CB , AB ∥ DC , 所以∠ ABC =180°-∠ BCD =180°-120°=60°, 所以△ ABC 是等边三角形 , 所以 AC = AB =5 . 故选 D . D 2 . (2016 ·莆田中考 ) 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( 　　 ) A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 解析 : 菱形具有的性质为 : 对边相等 , 对角相等 , 对角线互相平分 , 对角线互相垂直 ; 一般平行四边形具有的性质为 : 对边相等 , 对角相等 , 对角线互相平分 . 所以菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 : 对角线互相垂直 . 故选 D . D 3 . 如图所示 , 菱形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于 O 点 , E , F 分别是 AB , BC 边上的中点 , 连接 EF. 若 EF = , BD =4, 则菱形 ABCD 的周长为 ( 　　 ) A.4 B.4 C.4 D.28 解析 : ∵ E , F 分别是 AB , BC 边上的中点 , EF = ,∴ AC =2 EF =2 . ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ,∴ AC ⊥ BD , OA = AC = , OB = BD =2,∴ AB = ,∴ 菱形 ABCD 的周长为 4 . 故选 C . C 4 . 如图所示 , 菱形 ABCD 的周长为 8 cm, 高 AE 的长为 cm, 则对角线 AC 和 BD 的长度之比为 ( 　　 ) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶ D.1∶ 解析 : 设 AC , BD 相交于点 O ,∵ 菱形 ABCD 的周长为 8cm,∴ AB = BC =2 cm . ∵ 高 AE 的长为 cm, ∴ BE = =1(cm),∴ CE = BE =1 cm,∴ AC = AB =2 cm,∵ OA =1 cm, AC ⊥ BD ,∴ OB = (cm),∴ BD =2 OB =2 cm,∴ AC ∶ BD =1∶ . 故选 D . D 5 . 如图所示 , 菱形 ABCD 的周长为 8 cm . ∠ BAD =60°, 则 AC = 　　　　 cm .  解析 : 因为菱形 ABCD 的周长为 8 cm, 所以 AB =2 cm, AB = AD. 又因为∠ BAD =60°, 所以△ ABC 是等边三角形 , 所以 BD = AB =2 cm, 所以 OA = (cm) . 所以 AC =2 cm . 故填 2 . 6 . 如图所示 , AC 是菱形 ABCD 的对角线 , 点 E , F 分别在 AB , AD 上 , 且 AE = AF. 求证 CE = CF. 解析 : 由四边形 ABCD 是菱形 , 可得∠ EAC = ∠ FAC , 又由 AE = AF , AC 为公共边 , 即可 证得△ ACE ≌△ ACF , 则可得 CE = CF. 证明 :∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ ∠ EAC = ∠ FAC. 在△ ACE 和△ ACF 中 , ∴△ ACE ≌△ ACF (SAS) . ∴ CE = CF. 7 . 如图所示 , 菱形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O , 点 E , F 分别是边 AB , AD 的中点 . (1) 请判断△ OEF 的形状 , 并证明你的结论 ; (2) 若 AB =13, AC =10, 请求出线段 EF 的长 . 解析 : (1) 利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 , 进而得到 OE = OF , 可判断△ OEF 的形状 ;(2) 利用勾股定理得出 BO 的长 , 再利用三角形的中位线定理得出 EF 的长 . 解 : (1) △ OEF 是等腰三角形 . 证明 :∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AB = AD , AC ⊥ BD. ∵ 点 E , F 分别是边 AB , AD 的中点 , ∴ EO = AB , OF = AD , ∴ EO = FO ,∴ △ OEF 是等腰三角形 . (2)∵ 四边形 ABCD 是菱形 , AC =10, ∴ AO =5,∠ AOB =90°, ∴ BO = =12, ∴ BD =24 . ∵ 点 E , F 分别是边 AB , AD 的中点 , ∴ EF = BD ,∴ EF =12 . 8 . 如图所示 , 在△ ABC 中 , AB = AC , 四边形 ADEF 是菱形 , 求证 BE = CE. 解析 : 根据四边形 ADEF 是菱形 , 得 DE = EF , AB ∥ EF , DE ∥ AC , 可证明△ DBE ≌△ FEC , 即可得出 BE = CE. 证明 : ∵ 四边形 ADEF 是菱形 , ∴ DE = EF , AB ∥ EF , DE ∥ AC , ∴ ∠ C = ∠ BED , ∠ B = ∠ CEF. ∵ AB = AC ,∴ ∠ B = ∠ C , ∴ ∠ BED = ∠ CEF , 在△ DBE 和△ FEC 中 , ∴△ DBE ≌△ FEC , ∴ BE = CE. 9 . 如图所示 , 已知菱形 ABCD , AB = AC , E , F 分别是 BC , AD 的中点 , 连接 AE , CF. (1) 求证四边形 AECF 是矩形 ; (2) 若 AB =6, 求菱形的面积 . 解析 : (1) 首先证明△ ABC 是等边三角形 , 进而得出∠ AEC =90°, 四边形 AECF 是平行四边形 , 即可得出答案 ;(2) 利用勾股定理得出 AE 的长 , 进而求出菱形的面积 . 证明 :(1)∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AB = BC. 又 ∵ AB = AC ,∴ AB = AC = BC. ∴ △ ABC 是等边三角形 . ∵ E 是 BC 的中点 , ∴ AE ⊥ BC , ∴ ∠ AEC =90° . ∵ E , F 分别是 BC , AD 的中点 , ∴ AF = AD , EC = BC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AD ∥ BC 且 AD = BC , ∴ AF ∥ EC 且 AF = EC , ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . 又 ∵ ∠ AEC =90°, ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 解 :(2) 在 Rt △ ABE 中 , AE = , 所以 10 . 如图所示 , 在△ ABC 中 ,∠ ACB =90°, D , E 分别是 BC , BA 的中点 , 连接 DE , 点 F 在 DE 的延长线上 , 且 AF = AE. (1) 求证四边形 ACEF 是平行四边形 ; (2) 若四边形 ACEF 是菱形 , 求∠ B 的度数 . 解析 : (1) 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CE = AE = BE , 从而得到 AF = CE , 再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠ 1= ∠ 2, 根据等边对等角可得∠ F = ∠ 3, 对顶角相等得∠ 1= ∠ 3, 然后得到∠ 2= ∠ F , 再根据同位角相等 , 两直线平行得到 CE ∥ AF , 然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证 ;(2) 根据菱形的四条边都相等可得 AC = CE , 然后得到 AC = CE = AE , 从而得到△ AEC 是等边三角形 , 再根据等边三角形的每一个内角都是 60° 求出∠ CAE =60°, 然后根据直角三角形的两锐角互余解答 . 证明 :(1)∵ ∠ ACB =90°, E 是 BA 的中点 , ∴ CE = AE = BE. ∵ AF = AE ,∴ AF = CE. 在△ BEC 中 ,∵ BE = CE 且 D 是 BC 的中点 , ∴ ED 是等腰三角形 BEC 底边 BC 上的中线 , ∴ ED 是等腰三角形 BEC 的顶角平分线 , ∴ ∠ 1= ∠ 2 . ∵ AF = AE ,∴ ∠ F = ∠ 3 . ∵ ∠ 1= ∠ 3,∴ ∠ 2= ∠ F , ∴ CE ∥ AF. 又 ∵ CE = AF , ∴ 四边形 ACEF 是平行四边形 . 解 :(2)∵ 四边形 ACEF 是菱形 , ∴ AC = CE , 由 (1) 知 , AE = CE , ∴ AC = CE = AE , ∴ △ AEC 是等边三角形 , ∴ ∠ CAE =60° . 在 Rt △ ABC 中 , ∠ B =90°- ∠ CAE =90°-60°=30° .