第四章 第三节.ppt

第三节　等腰三角形与 直角三角形 知识点一 等腰三角形 1 ．等腰三角形：有 _______ 相等的三角形叫做等腰三角形． 两条边 2 ．等腰三角形性质 (1) 等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边 的 ___________ ． (2) 等腰三角形的底边上的 ___ 、底边上的中线及顶角的 _____ ___ 重合． (3) 等腰三角形的两个底角 _____ ． 垂直平分线 高 平分 线 相等 3 ．等腰三角形的判定 (1) 有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2) 有两个 ___ 相等的 三角形是等腰三角形，简称等角对等 边． 角 逆向运用等腰三角形“三线合一”的性质也可以判定三角形是等腰三角形． (1) 一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形． (2) 一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． (3) 一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． 知识点二 等边三角形 1 ．等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形． 2 ．等边三角形的性质 (1) 等边三角形的三条边 _______ ，三个角都等于 _____. (2) 等边三角形是轴对称图形，有 __ 条对称轴． 都相等 60° 3 3 ．等边三角形的判定 (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形． (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形． (3) 有一个内角等于 60° 的 ___________ 是等边三角形． (4) 有两个角等于 _____ 的三角形是等边三角形． 等腰三角形 60° 知识点三 直角三角形 1 ．勾股定理及其逆定理 (1) 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 . (2) 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的重要依据． 2 ．直角三角形的性质 (1) 直角三角形的两个锐角 _____ ． (2) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _____ ． (3) 直角三角形中 30° 角所对的直角边等于 ___________ ． (4) 直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于 _____ ． 互余 一半 斜边的一半 30° 3 ．直角三角形的判定 (1) 有一个角是 _____ 的三角形是直角三角形． (2) 有两个角 _____ 的三角形是直角三角形． (3) 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形． (4) 如果三角形一边上的 _____ 等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形． 90° 互余 中线 知识点四 角平分线与线段的垂直平分线 1 ．角平分线 (1) 性质定理：角平分线上的点，到这个角的两边的距离 _____ ． (2) 判定定理：角的内部到角的两边距离 _____ 的点在角的 平分线上． 相等 相等 2 ．线段的垂直平分线 (1) 线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线叫做 这条线段的垂直平分线． (2) 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 _____ ． (3) 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的 _______ _____ 上． 相等 垂直平 分线 考点 一 等腰三角形的性质与判定 (5 年 2 考 ) 命题角度❶　等腰三角形的性质与判定 例 1 (2017· 昌乐一模 ) 在正方形网格中，网格线的 交点称为格点．如图是 3×3 的正方形网格，已知 A ， B 是两格点，在网格中找一点 C ，使得△ ABC 为等腰直 角三角形，则这样的点 C 有 ( ) A ． 6 个 B ． 7 个 C ． 8 个　 D ． 9 个 【 分析 】 根据已知条件，分情况进行讨论． 【 自主解答 】 如图， AB 是腰长时，有 4 个点可以作为点 C ； AB 是底边时，有 2 个点可以作为点 C. ∴ 满足条件的点 C 的个数是 4 ＋ 2 ＝ 6. 故选 A. 讲： 分类讨论解等腰三角形问题 在求解与等腰三角形有关的问题时，如果腰或者顶角不确定，那么需要分类讨论进行求解，最易犯错的地方就是忽略分类讨论，导致漏解． 练： 链接变式训练 3 1 ． (2017· 烟台 ) 某城市几条道路的位置关系如图所示，已 知 AB∥CD ， AE 与 AB 的夹角为 48° ，若 CF 与 EF 的长度相等， 则∠ C 的度数为 ( ) A ． 48° B ． 40° C ． 30° D ． 24° D 2 ． (2016· 滨州 ) 如图，△ ABC 中， D 为 AB 上一点， E 为 BC 上一点，且 AC ＝ CD ＝ BD ＝ BE ，∠ A ＝ 50° ，则∠ CDE 的度 数为 ( ) 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 A ． 50° B ． 51° C ． 51.5° D ． 52.5° D 3 ．已知等腰三角形的底边长为 10 cm ，一腰上的中线把三 角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长 5 cm ， 那么这个三角形的腰长为 ___ cm. 15 ❷　等边三角形的性质与判定 例 2 如图，过边长为 1 的等边△ ABC 的边 AB 上一点 P ，作 PE⊥AC 于 E ， Q 为 BC 延长线上一点，当 PA ＝ CQ 时，连接 PQ 交 AC 于 D ，则 DE 的长为 ( ) 【 分析 】 过 P 作 PF∥BC 交 AC 于 F ，得出△ APF 为等边三角 形，推出 AP ＝ PF ＝ QC ，根据等腰三角形性质求出 EF ＝ AE ，证得△ PFD≌△QCD ，推出 FD ＝ CD ，进而求得 DE. 【 自主解答 】 如图，过 P 作 PF∥BC 交 AC 于 F. ∵PF∥BC ，△ ABC 是等边三角形， ∴∠ PFD ＝∠ QCD. ∵△APF 是等边三角形， ∴ AP ＝ PF ＝ AF. ∵PE⊥AC ，∴ AE ＝ EF. ∵AP ＝ PF ， AP ＝ CQ ，∴ PF ＝ CQ. 又∵∠ PDF ＝∠ QDC ， ∴△ PFD≌△QCD ，∴ FD ＝ CD. ∵AE ＝ EF ，∴ EF ＋ FD ＝ AE ＋ CD ， ∴ AE ＋ CD ＝ DE ＝ AC. ∵AC ＝ 1 ，∴ DE ＝ . 故选 A. 4 ．如图，直线 l ∥m∥n ，等边△ ABC 的顶点 B ， C 分别在直 线 n 和 m 上，边 BC 与直线 n 所夹锐角为 28° ，则∠ α 的度数 为 ( ) A ． 28° B ． 30° C ． 32° D ． 45° C 5 ．如图，等边△ ABC 的边长为 6 ，∠ ABC ，∠ ACB 的角平分线 交于点 D ，过点 D 作 EF∥BC ，交 AB ， AC 于点 E ， F ，则 EF 的长 度为 __ ． 4 考点二 勾股定理及其逆定理 (5 年 3 考 ) 例 3 (2017· 昌乐一模 ) 如图，点 C 为线段 AB 上一点，将线 段 CB 绕点 C 旋转，得到线段 CD. 若 DA⊥AB ， AD ＝ 1 ， BD ＝ ， 则 BC 的长为 ____________ ． 【 分析 】 首先由旋转变换的性质得 CD ＝ CB ，运用勾股定理求出 AB 的长度；再次运用勾股定理列出关于 CB 的方程，求出 CB 即可． 【 自主解答 】 由题意得 CD ＝ CB ， 在 Rt△ABD 中， AB ＝ ＝ 4. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AC 2 ＋ AD 2 ＝ DC 2 ， 即 (4 － BC) 2 ＋ 1 2 ＝ BC 2 ， 解得 BC ＝ . 故答案为 . 6 ．如图，在△ ABD 中，∠ D ＝ 90° ， CD ＝ 6 ， AD ＝ 8 ，∠ ACD ＝ 2∠B ，则 BD 的长是 ( ) A ． 12 B ． 14 C ． 16 D ． 18 C 7 ．如图，四边形 ABCD 中， AB⊥AD 于 A ， AB ＝ 8 ， AD ＝ 8 ， BC ＝ 7 ， CD ＝ 25 ，则四边形 ABCD 的面积为 __________ ． 考点三 直角三角形的性质 (5 年 1 考 ) 例 4 如图，已知∠ AOB ＝ 60° ，点 P 在边 OA 上， OP ＝ 10 ，点 M ， N 在边 OB 上， PM ＝ PN. 若 MN ＝ 2 ，则 OM ＝ ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 【 分析 】 过点 P 作 PH⊥MN 于 H ，根据等腰三角形的性质求出 MH ，根据直角三角形的性质求出 OH ，进而求得 OM. 【 自主解答 】 如图，作 PH⊥MN 于 H ， ∵ PM ＝ PN ，∴ MH ＝ NH ＝ MN ＝ 1. ∵∠AOB ＝ 60° ，∴∠ OPH ＝ 30° ， ∴ OH ＝ OP ＝ 5 ，∴ OM ＝ OH － MH ＝ 4. 故选 B. 直角三角形的性质： (1) 两锐角互余； (2) 勾股定理； (3) 斜边的中线等于斜边的一半； (4)30° 角所对的直角边等于斜边的一半． 8 ．如图， Rt△ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，∠ A ＝ 55° ，将其折 叠，使点 A 落在边 CB 上 A′ 处，折痕为 CD ，则∠ A′DB ＝ ( ) A ． 40° B ． 30° C ． 20° D ． 10° C 9 ．如图，正方形网格的边长为 1 ，点 A ， B ， C 在网格的格点 上，点 P 为 BC 的中点，则 AP ＝ _____ ． 考点四 角平分线与线段的垂直平分线 (5 年 2 考 ) 命题角度❶　角平分线的性质与判定 例 5 (2017· 高密一模 ) 如图，在△ ABC 中， CD 是 AB 边上的高， BE 平分∠ ABC ，交 CD 于点 E ， BC ＝ 5 ， DE ＝ 2 ，则△ BCE 的面积等于 ( ) A ． 10 B ． 7 C ． 5 D ． 4 【 分析 】 作 EF⊥BC 于 F ，根据角平分线的性质求得 EF 的 长，然后根据三角形面积公式求解即可． 【 自主解答 】 如图，作 EF⊥BC 于 F. ∵BE 平分∠ ABC ， ED⊥AB ， EF⊥BC ， ∴ EF ＝ DE ＝ 2 ，∴ S △BCE ＝ BC·EF ＝ ×5×2 ＝ 5. 故选 C. 10 ．如图， AB∥CD ， BP 和 CP 分别平分∠ ABC 和∠ DCB ， AD 过 点 P ，且与 AB 垂直，若 AD ＝ 8 ，则点 P 到 BC 的距离是 __. 4 命题角度❷　线段的垂直平分线的性质与判定 例 6 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AD⊥BC ， E 为 AD 上一 点，∠ ABC ＝ 60° ，∠ ECD ＝ 40° ，则∠ ABE ＝ ( ) A ． 10° B ． 15° C ． 20° D ． 25° 【 分析 】 根据等腰三角形的性质可知 AD 是 BC 的垂直平分 线，从而可求出∠ ABE 的值． 【 自主解答 】 ∵D 为 BC 的中点， AD⊥BC ， ∴ EB ＝ EC ， AB ＝ AC ， ∴∠ EBD ＝∠ ECD ＝ 40° ，∠ ABC ＝∠ ACD ＝ 60° ， ∴∠ ABE ＝ 60° － 40° ＝ 20°. 故选 C. 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，利用这个性质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解决相关的问题． 11 ． (2016· 荆州 ) 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，∠ CAB 的平分线交 BC 于 D ， DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E. 若 BC ＝ 3 ，则 DE 的长为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 A 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，分别以点 A 和点 B 为 圆心，以相同的长 ( 大于 AB) 为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N ，作直线 MN 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E. 若 AC ＝ 3 ， AB ＝ 5 ，则 DE ＝ ____ ．