第24节：圆的基本性质.ppt

第 24 节 圆的基本性质 第六章 圆 目录 contents 课前预习 考点梳理 课堂精讲 广东中考 考点 1 考点 2 课前预习 目录 contents 课前预习 Listen attentively 1. （ 2016• 牡丹江）如图，在半径为 5 的⊙ O 中，弦 AB=6 ， OP⊥AB ，垂足为点 P ，则 OP 的长为（　　） A ． 3 B ． 2.5 C ． 4 D ． 3.5 2 ．（ 2016• 长沙）如图，在⊙ O 中，弦 AB=6 ，圆心 O 到 AB 的距离 OC=2 ，则⊙ O 的半径长为 　　 ． C 4 ．（ 2016• 兰州）如图，在⊙ O 中，若点 C 是弧 AB 的中点，∠ A=50° ，则∠ BOC= （　） A ． 40° B ． 45° C ． 50° D ． 60° 课前预习 Listen attentively 3 ．（ 2016 会宁月考）一条排水管的截面如图，已知该排水管的半径 OA=10 ，水面宽 AB=16 ，则排水管内水的最大深度 CD 的长为（　　） A ． 8 B ． 6 C ． 5 D ． 4 A D 课前预习 Listen attentively 5 ．（ 2016• 茂名）如图， A 、 B 、 C 是 ⊙ O 上的三点，∠ B=75° ，则∠ AOC 的度数是（　　） A ． 150° B ． 140° C ． 130° D ． 120° A 6 ．（ 2016• 张家界）如图， AB 是⊙ O 的直径， BC 是⊙ O 的弦．若∠ OBC=60° ，则∠ BAC 的度数是（　　） A ． 75° B ． 60° C ． 45° D ． 30° D 课前预习 Listen attentively 7 ．（ 2016• 百色）如图，⊙ O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E ，若∠ C=25° ，则∠ D=_____. 　　 65° 考点梳理 目录 contents 考点梳理 Listen attentively 1. 圆的有关概念及性质 (1) 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，圆既是轴对称图形也是中心对称图形． (2) 圆具有对称性和旋转不变性 . (3) 不共线的三点确定一个圆． (4) 圆上各点到圆心的距离都等于半径． (5) 圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆周的弧称为优弧，小于半圆周的弧称为劣弧． (6) 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 考点梳理 Listen attentively (7) 弧、弦、圆心角的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ___ 相等，所对的 相等，所对的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个 _________ ，两条弧， 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等． 弧 弦 圆心角 两条弦 注意：轴对称性是圆的又一条基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的．它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据，遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线． 考点梳理 Listen attentively 3 ．与圆有关的角及其性质 (1) 圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角． 圆周角：顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角． 弦切角：顶点在圆上，角的一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 考点梳理 Listen attentively （ 2 ）圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ． 推论： ①同弧或等弧所对的 相等；同圆或等圆中，相等的 所对的弧也相等． ②半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ； 90° 的圆周角所对的弦是圆的 ． ③三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 ． 一半 圆周角 圆心角 直角 直径 直角三角形 课堂精讲 目录 contents 课堂精讲 Listen attentively 1 ．（ 2016• 三明）如图， AB 是⊙ O 的弦， 半径 OC⊥AB 于点 D ，若⊙ O 的半径为 5 ， AB=8 ，则 CD 的长是（　　） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 【分析】 根据垂径定理由 OC⊥AB 得到 AD= AB=4 ，再根据勾股定理开始出 OD ，然后用 OC﹣OD 即可得到 DC ． 【 解答 】 解：∵ OC⊥AB ， ∴ AD=BD= AB= ×8=4 ， 在 Rt△OAD 中， OA=5 ， AD=4 ， ∴ OD= =3 ， ∴ CD=OC﹣OD=5﹣3=2 ．故选 A ． 考点 1 垂径定理 A 课堂精讲 Listen attentively 2 ．（ 2016• 绥化）如图，⊙ O 的直径 CD=20cm ， AB 是⊙ O 的弦， AB⊥CD ， 垂足为 M ，若 OM=6cm ，则 AB 的长 为 _____ cm ． 16 【分析】 连接 OA ，根据垂径定理求出 AB=2AM ，已 知 OA 、 OM ，根据勾股定理求出 AM 即可． 【 解答 】 解：连接 OA ， ∵⊙ O 的直径 CD=20cm ，∴ OA=10cm ， 在 Rt△OAM 中，由勾股定理得： AM= =8cm ， ∴由垂径定理得： AB=2AM=16cm ．故答案为： 16 ． 课堂精讲 Listen attentively 3.(2016• 绍兴 ) 如图 1 ，小敏利用课余时间制作了一 个脸盆架，图 2 是它的截面图，垂直放置的脸盆与 架子的交点为 A ， B ， AB=40cm ，脸盆的最低点 C 到 AB 的距离为 10cm ，则该脸盆的半径为 ____cm ． 【分析】 设圆的圆心为 O ，连接 OA ， OC ， OC 与 AB 交于点 D ，设⊙ O 半径为 R ，在 RT△AOD 中利用勾股定理即可解决问题． 课堂精讲 Listen attentively 【 解答 】 解：如图，设圆的圆心为 O ，连接 OA ， OC ， OC 与 AB 交于点 D ，设⊙ O 半径为 R ， ∵ OC⊥AB ，∴ AD=DB= AB=20 ，∠ ADO=90° ， 在 Rt△AOD 中，∵ OA 2 =OD 2 +AD 2 ， ∴ R 2 =20 2 + （ R﹣10 ） 2 ， ∴ R=25 ． 故答案为 25 ． 课堂精讲 Listen attentively 4 ．（ 2016• 黔西南州）如图，△ ABC 的顶点均在⊙ O 上，若∠ A=36° ，则∠ BOC 的 度数为（　　） A ． 18° B ． 36° C ． 60° D ． 72° 考点 2 圆心角和圆周角 D 【分析】 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案． 【 解答 】 解：由题意得∠ BOC=2∠A=72° ． 故选 D ． 课堂精讲 Listen attentively 5 ．（ 2016• 济宁）如图，在⊙ O 中， = ，∠ AOB=40° ，则∠ ADC 的度数是（　　） A ． 40° B ． 30° C ． 20° D ． 15° C 【分析】 先由圆心角、弧、弦的关系 求出∠ AOC=∠AOB=40° ，再由圆 周角定理即可得出结论． 【 解答 】 解：连接 CO ，如图：∵在⊙ O 中， = ，∴∠ AOC=∠AOB ， ∵∠ AOB=40° ，∴∠ AOC=40° ，∴∠ ADC=∠AOC=20° ，故选 C ． 课堂精讲 Listen attentively 6. 如图，在△ ABC 中，∠ C=90° ，∠ A=25° ，以点 C 为圆心， BC 为半径的圆交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，则 的度数为 ． 50° 【分析】 连接 CD ，求出∠ B=65° ， 再根据 CB=CD ，求出∠ BCD 的度数即可． 【 解答 】 解：连接 CD ，∵∠ A=25° ，∴∠ B=65° ，∵ CB=CD ，∴∠ B=∠CDB=65° ，∴∠ BCD=50° ，∴ 的度数为 50° ． 故答案为： 50° ． 课堂精讲 Listen attentively 7 ．（ 2016• 葫芦岛）如图， A ， B ， C ， D 是⊙ O 上的四个点，∠ C=110° ，则∠ BOD= _______ 度． 140 【分析】 根据圆内接四边形对角互补和，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题． 【 解答 】 解：∵ A ， B ， C ， D 是⊙ O 上的四个点，∠ C=110° ， ∴四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠ C+∠A=180° ，∴∠ A=70° ， ∵∠ BOD=2∠A ，∴∠ BOD=140° ， 故答案为： 140 ． 课堂精讲 Listen attentively 8. （ 2015• 珠海）如图，在⊙ O 中， 直径 CD 垂直于弦 AB ，若∠ C=25° ， 则∠ BOD 的度数是（ ） A ． 25° B ． 30° C ． 40° D ． 50° D 【分析】 由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠ DOB=2∠C ，得到答案． 【 解答 】 解：∵在⊙ O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，∴ = ， ∴∠ DOB=2∠C=50° ． 故选： D ． 课堂精讲 Listen attentively 9 ．（ 2016• 青岛）如图， AB 是⊙ O 的直径， C ， D 是⊙ O 上的两点， 若∠ BCD=28° ，则∠ ABD=______. 　 62° 【分析】 根据直径所对的圆周角是直角得到∠ ACB=90° ，求出∠ BCD ，根据圆周角定理解答即可． 【 解答 】 解：∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB=90° ， ∵∠ BCD=28° ，∴∠ ACD=62° ，由圆周角定理得∠ ABD=∠ACD=62° ，故答案为： 62°. 目录 contents 广东中考 解 析 ： ∵ 线段AB 是⊙ O 的直径，弦 CD 丄 AB ， ∴ = ， ∵∠ CAB=20 ° ， ∴∠ BOD=40 ° ，∴∠ AOD=140 ° ． 广东中考 Listen attentively 10. （2014 珠海）如图，线段 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD 丄 AB ，∠ CAB=20 ° ，则∠ AOD 等于（　　） A．160° B．150° C．140° D．120° C 广东中考 Listen attentively 1 1 . （ 2014 广东）如图，在 ⊙ O 中，已知半径为 5 ，弦 AB 的长为 8 ，那么圆心 O 到 AB 的距离为 　 　 ． 解析： 作OC⊥AB于C，连结OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC= AB= ×8=4， 在Rt△AOC中，OA=5， ∴OC= = =3， 即圆心O到AB的距离为3． 3 广东中考 Listen attentively 12. （2013 广州）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限， ⊙P 与 x 轴交于 O ， A 两点，点 A 的坐标为（ 6 ， 0 ）， ⊙P 的半径为 ，则点P 的坐标为 ． 解析： 过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP， ∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD= OA=3， 在Rt△OPD中，∵OP= ，OD=3， ∴PD= = =2， ∴P（3，2）． （3，2） 广东中考 Listen attentively 13. （2008 广东）如图，已知 AB 是⊙ O的直径，BC 为弦，∠ ABC=30度．过圆心O 作 OD ⊥ BC交 于点D ，连接 DC ，则∠ DCB= 　 　 度． 解 析 ： ∵ OD ⊥ 交BC 于 点 D ，∠ ABC=30°， ∴∠BOD=90 ° ﹣ ∠ ABC=90 ° ﹣ 30 ° =60 ° ， ∴∠DCB= ∠ BOD=30 ° ． 30 广东中考 Listen attentively 1 4 . （ 2009 广东 ）已知 ⊙ O 的直径 AB=8cm ， C 为 ⊙ O 上的一点， ∠ BAC=30 ° ，则 BC= 　 　 cm ． 解 析 ： ∵ AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠C=90 ° ； 在Rt △ ACB 中， ∠ A=30 ° ， AB=8cm ； 因此BC= AB=4cm ． 4 广东中考 Listen attentively 1 4 . （ 2012 广东）如图， A 、 B 、 C 是 ⊙ O 上的三个点， ∠ ABC=25 ° ，则 ∠ AOC 的度数是 　 　 ． 解 析 ： ∵ 圆心角 ∠ AOC 与圆周角 ∠ ABC 都对应 ， ∴∠AOC=2 ∠ ABC ，又 ∠ ABC=25 ° ， 则 ∠ AOC=50 ° ． 50 ° 广东中考 Listen attentively D 谢 谢 观 看 ！