2019年春人教版八年级下数学《18.2.1.2矩形的判定》课件.ppt

第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 18.2.1 矩 形 第 2 课时 矩形的判定 学习目标 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程， 理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题 .( 难点 ) 复习引入 导入新课 问题 1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 问题 2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时 ，如何确保 图形是 矩形呢？现在师傅带了两种工具 （卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧 . 讲授新课 对角线相等的平行四边形是矩形 一 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法 . 问题 1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 矩形是特殊的平行四边形 . 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立 . 问题 2 上节课我们已经知道 “ 矩形的对角线相等 ” ，反过来， 小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 . 不对，等腰梯形的对角线也相等 . 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分 . 思考 你能证明这一猜想吗？ 已知：如图 , 在 □ ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证： □ ABCD 是矩形 . 证明：∵ AB = DC , BC = CB , AC = DB , ∴ △ ABC ≌ △ DCB , ∴∠ ABC = ∠ DCB . ∵ AB ∥ CD , ∴∠ ABC + ∠ DCB = 180° , ∴ ∠ ABC = 90° , ∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义） . A B C D 证一证 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形 . 归纳总结 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中， ∵ AC = BD ， ∴ 平行 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验 两组对边相等 的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果 对角线长相等 ，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形 . 　 例 1 如图，在 　 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且 OA = OD ，∠ OAD =50° ．求∠ OAB 的度数． 　 A 　 B 　 C 　 D 　 O 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC ， OB = OD = BD . 又 ∵ OA = OD ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ BAD= 90 ° . 又 ∵ ∠ OAD =50° ， ∴ ∠ OAB =40°. 典例精析 例 2 如图 , 矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AO 、 BO 、 CO 、 DO 上的一点 , 且 AE = BF = CG = DH . 求证 : 四边形 EFGH 是矩形 . B C D E F G H O A 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD （矩形的对角线相等 ) ， AO = BO = CO = DO （矩形的对角线互相平分）， ∵ AE = BF = CG = DH ， ∴ OE = OF = OG = OH ， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形， ∵ EO + OG = FO + OH ， 即 EG = FH ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . 练一练 1. 如图，在▱ ABCD 中， AC 和 BD 相交于点 O ，则下面条件能判定▱ ABCD 是矩形的是 （　　） A． AC = BD B． AC = BC C． AD = BC D． AB = AD A 2. 如图 ABCD 中 , ∠1= ∠2 中 . 此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形 . 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO = CO , DO = BO . 又 ∵ ∠1= ∠2 ， ∴ AO = BO ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 二 问题 1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形 . 成立 问题 2 至少有几个角是直角的四边形是矩形 ？ A B D C ( 有一个角是直角 ) A B D C ( 有二个角是直角 ) A B D C ( 有三个角是直角 ) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形 . 已知：如图 , 在四边形 ABCD 中 ,∠ A =∠ B =∠ C =90 ° . 求证：四边形 ABCD 是矩形 . 证明 :∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴∠ A +∠ B =180 ° , ∠ B +∠ C =180 ° ， ∴ AD∥BC , AB∥CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 证一证 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形 . 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形 . 例 3 如图， □   ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E 、 F 、 G 、 H ，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在 □   ABCD 中， AD∥BC , ∴∠ DAB +∠ ABC =180 ° . ∵ AE 与 BG 分别为∠ DAB 、 ∠ ABC 的平分线 , A B D C H E F G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证 ∠ AED = ∠ EHG =90°, ∴∠ AFB =90° ， ∴∠ GFE =90°. ∴ ∠ BAE + ∠ ABF = ∠ DAB + ∠ ABC =90 ° . 例 4 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， CE ⊥ AN ，垂足为 E ，求证：四边形 ADCE 为矩形． 证明：在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ BAD ＝ ∠ DAC ，即 ∠ DAC ＝ ∠ BAC . 又 ∵ AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， ∴∠ MAE ＝ ∠ CAE ＝ ∠ CAM , ∴∠ DAE ＝ ∠ DAC ＋ ∠ CAE ＝ (∠ BAC ＋ ∠ CAM ) ＝ 90°. 又 ∵ AD ⊥ BC ， CE ⊥ AN ， ∴∠ ADC ＝ ∠ CEA ＝ 90°, ∴ 四边形 ADCE 为矩形． 练一练 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 当堂练习 1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （ 1 ）对角线相等的四边形是矩形； （ 2 ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ 3 ）有一个角是直角的四边形是矩形； （ 5 ）有三个角是直角的四边形是矩形； （ 6 ）四个角都相等的四边形是矩形； （ 7 ）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ 4 ）有三个角都相等的四边形是矩形 ; × × × × √ √ √ √ （ 8 ）一组对角互补的平行四边形是矩形 . 2. 如图 , 直线 EF∥MN , PQ 交 EF 、 MN 于 A 、 C 两点 , AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别是 ∠ EAC 、 ∠ MCA 、 ∠ ACN 、 ∠ CAF 的平分线 , 则四边形 ABCD 是 （ ） A. 梯 形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 3. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BAD =90°， AB =5， BC =12， AC =13．求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BAD =90°， ∴∠ ADC =90° . 又∵△ ABC 中， AB =5， BC =12， AC =13， 满足13 2 =5 2 +12 2 ，即 ∴△ ABC 是直角三角形，且∠ B =90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． A B C D 4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，延长 OA 到 N ，使 ON ＝ OB ，再延长 OC 至 M ，使 CM ＝ AN . 求证：四边形 NDMB 为矩形． 证明： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AO ＝ OC ， OD ＝ OB . ∵ AN ＝ CM ， ON ＝ OB ， ∴ ON ＝ OM ＝ OD ＝ OB ， ∴ 四边形 NDMB 为平行四边形， MN ＝ BD ， ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形． 5. 如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的高， AE 是 △ BAC 的外角平分线， DE ∥ AB 交 AE 于点 E ，求证：四边形 ADCE 是矩形． 证明： ∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ， BD ＝ DC . ∵ AE 是 ∠ BAC 的外角平分线， ∴∠ FAE ＝ ∠ EAC . ∵∠ B ＋ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＋ ∠ EAC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＝ ∠ EAC ， ∴ AE ∥ CD . 又 ∵ DE ∥ AB ， ∴ 四边形 AEDB 是平行四边形， ∴ AE 平行且相等 BD . 又 ∵ BD ＝ DC ， ∴ AE 平行且等于 DC ， 故四边形 ADCE 是平行四边形 . 又 ∵∠ ADC ＝ 90° ， ∴ 平行四边形 ADCE 是矩形． 6. 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ B ＝ 90° ， AD ＝ 24cm ， BC ＝ 26cm ，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动．点 P 、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？ 解：设经过 x s ，四边形 PQCD 为平行四边形， 即 PD ＝ CQ ， 所以 24 － x ＝ 3 x ， 解得 x ＝ 6. 即经过 6s ，四边形 PQCD 是平行四边形； 能力提升： (2)经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？ 解：设经过 y s ，四边形 PQBA 为矩形， 即 AP ＝ BQ ， ∴ y ＝ 26 － 3 y ， 解得 y ＝ 6.5 ， 即经过 6.5s ，四边形 PQBA 是矩形． 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形 . 对角线相等的平行四边形是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 . 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理