初二数学2016年13.4 课题学习 最短路径问题课件.ppt

第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短 路径问题 1 课堂讲解 运用“垂线段最短”解决最短路径问题 运用“两点之间线段最短”解决最短路 径问题 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A 、 B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输 气管线最短？你能解答这个问题吗？ 知 1 －导 1 知识点 运用“垂线段最短”解决最短路径问题 【 例 1】 体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是 ( 　　 ) A ． 过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且 只有一条 B ． 两点之间，线段最短 C ． 垂线段最短 D ． 两点确定一条直线 C 知 1 －练 如图， l 为河岸 ( 视为直线 ) ，要想开一条沟将河里的水从 A 处引到田地里去，则应从河边 l 的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由 . 1 （来自 《 典中点 》 ） 知 2 －导 2 知识点 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题 如图 13.4-1 ，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的 河边饮马，然 后到 B 地 . 牧马人到河边的什么地方饮 马，可使所走的路径最短？ 问 题（一） 知 2 －导 如果把河边 l 近似地看成一条直线（图 13.4-2) ， C 为直线 l 上的一个动点，那么，上面的问题可以转 化为：当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小 . 由这个问题，我们可以联想到下面的问题： 知 2 －导 如图 13.4-3, 点 A , B 分别是直线 l 异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A 、点 B 的 距离的和最短？ A B · · l 利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面 的问题，即 : 连接 AB ，与直线 l 相交于一点，根据 “两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求 . 图 13.4-3 知 2 －导 现在，要解决的问题是：点 A , B 分别是直线 l 同 侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到 点 A 、点 B 的距离的和最短？ 如果我们能把点 B 移到 l 的另一侧 B' 处，同时 对直线 l 上的任一点 C, 都保持 CB 与 C B' 的长度相等， 就可以把问题转化为“图 13. 4-3” 的情况，从而 使 新问题得到解决 . 你能利用轴对称的有关知识，找到 符合条件的点 B' 吗？ 知 2 －导 如图 13.4-4, 作出点 B 关于 l 的对称点 B' ，利用轴 对称的性质，可以得 到 C B' =CB . 这样，问题就转化 为：当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB' 的和最小？ 知 2 －导 如图 13.4-5, 在连接 A ， B' 两点的线中，线段 A B' 最 短 . 因此，线段 A B' 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求 . 为了证明点 C 的位置即为 所求，我们不妨在直线上另 外任取一点 C ' ( 图 13.4-5) ， 连接 AC' , BC' , B'C' ，证明 AC + CB < AC' +C'B. 你能完成 这个 证明吗？ 1. 如图 13.4-1 ，点 A ， B 分别是直线 l 异侧的两个点， 连接 AB ，与直线 l 相交于点 P ，根据“两点之间， 线段最短”，可知点 P 为直线 l 上到点 A 、点 B 的距 离之和最短的点． 图 13.4-1 知 2 －导 2. 如图 13.4-2 ，点 A ， B 是直线 l 同侧的两个点，作点 A 关于直线 l 的对称点 A′ ，连接 A′B 交 l 于点 P ，则 PA ＋ PB ＝ PA′ ＋ PB ＝ A′B . 由“两点之间，线段最短” 可知，点 P 为直线 l 上到点 A 、点 B 的距离之和最短 的点． 图 13.4-2 知 2 －导 3 ．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、 平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而 作出最短路径． 知 2 －导 某供电部门准备在输电主干线 l 上连接一个分支线路，分支点为 M ，同时向新落成的 A ， B 两个居民小区送电． (1) 如果居民小区 A ， B 在主干线 l 的两旁，如图 13.4-3 ，那么分支点 M 在什么地方时总线路 最短？ 知 2 －讲 【 例 2】 图 13.4-3 （来自 《 点拨 》 ） 知 2 －讲 (2) 如果居民小区 A ， B 在主干线 l 的同旁，如图 13.4-4 ， 那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？ 图 13.4-4 （来自 《 点拨 》 ） (1) 连接 AB ，与 l 的交点即 为所求分支点 M ； (2) 作点 B 关于 l 的对称点 B 1 ， 连接 AB 1 交 l 于点 M ，点 M 即为分支点． 导引 ： (1) 如图 13.4-3 ，连接 AB ，与 l 的交点即为所求分支 点 M . (2) 如图 13.4-4 ，作点 B 关于 l 的对称点 B 1 ，连接 AB 1 交 l 于点 M ，点 M 即为所求分支点． 知 2 －讲 解 ： （来自 《 点拨 》 ） 图 13.4-3 图 13.4-4 解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法： 当 两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所 求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于 直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点 即为所求作的点． 知 2 －讲 知 2 －练 如图， A 处是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 l 上的点 P 处喝水，再游到 B 处，但要使游泳的路程最短．试在图中画出点 P 的位置． 1 （来自 《 点拨 》 ） 知 2 －练 （来自 《 典中点 》 ） ( 2015• 黔南州 ) 如图，直线 l 外不重合的两点 A 、 B ，在直线 l 上求作一点 C ，使得 AC ＋ BC 的长度最短，作法为：①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′ ；②连接 AB′ 与直线 l 相交于点 C ，则点 C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 ( 　　 ) A ．转化思想 B ．三角形的两边之和大于第三边 C ．两点之间，线段最短 D ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 2 知 2 －练 （来自 《 典中点 》 ） 如图，直线 l 表示一条河， P ， Q 两地相距 10 km ， P ， Q 两地到 l 的距离分别为 2 km ， 8 km ，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 P ， Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是 ( 　　 ) 3 知 2 －练 （来自 《 典中点 》 ） 如图，在平面直角坐标系中，点 A ( － 2 ， 4) ， B (4 ， 2) ，在 x 轴上取一点 P ，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，则点 P 的坐标是 ( 　　 ) A ． ( － 2 ， 0) 　　 B ． (4 ， 0) 　　 C ． (2 ， 0) 　　 D ． (0 ， 0) 4 知 2 －讲 ( 造桥选址问题）如图 13. 4-6, A 和 B 两地在一条 河的两岸，现要在河上造一座桥 MN . 桥造在何处可 使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假 定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直 . ） 问 题（二） 我们可以把河的两岸看成两条平行线 a 和 b ( 图 13.4-7) ， N 为直线 b 上的一个动点， MN 垂直于直线 b , 交直线 a 于点 M ，这样，上面的问题可以转化为下面 的问题：当点 N 在直线 b 的什么位置时， AM + MN + NB 最小？ 知 2 －讲 知 2 －讲 由于河岸宽度是固定的，因此当 AM + NB 最小时， AM + MN + NB 最小 . 这样，问题就进一步转化为：当点 N 在直线 b 的 什么位置时， AM + NB 最小？能否通过图形的变化（轴对称、 平移等），把“图 13. 4-7” 的情况转化 为“图 13.4-3” 的情况？ 如图 13.4-8, 将 AM 沿与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到 点 N , 点 A 移动到点 A' ，则 AA'=MN ， AM + NB = A'N + NB . 这样， 问题就转化为： 当点 N 在直线 b 的什么位置时， A'N + NB 最小？ 知 2 －讲 如图 13.4-9 ，在连接 A' ， B 两点的线中，线段 A' B 最短 . 因此线段 A'B 与直线 b 的交点 N 的位置即为 所求，即在点 N 处造桥 MN ，所得路径 AMNB 是最短 的 . 知 2 －讲 为了证明点 N 的位置即为所求，我们不妨在直线 b 上另外任意取一点 N' , 过点 N' 作 N' M ' ⊥ a, 垂足为 M ' 连接 A M ' ， A' N' ， N'B, 证明 AM + MN + NB< A M' + M' N' + N'B, 你能完成这个证明吗？ 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、 平移等变化把已知问 题转化为容易解决的问题，从 而作出最短路径的选择 . 如图 13.4-5 ，牧马营地在点 P 处，每天牧马人要赶着马群先到草地 a 上吃草，再到河边 b 饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短． 知 2 －讲 【 例 3】 （来自 《 点拨 》 ） 图 13.4-5 要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间， 线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段 上，为此作点 P 关于直线 a 的对称点 P 1 ，作点 P 关 于直线 b 的对称点 P 2 ，连接 P 1 P 2 ，分别交直线 a ， b 于点 A ， B ，连接 PA ， PB ，即得放牧所走的最 短路线． 知 2 －讲 （来自 《 点拨 》 ） 导引 ： 如图 13.4-5 ，作点 P 关于直线 a 的对称点 P 1 ，关于 直线 b 的对称点 P 2 ，连接 P 1 P 2 ，分别交直线 a ， b 于 点 A ， B ，连接 PA ， PB . 由轴对称的性质知， PA ＝ P 1 A ， PB ＝ P 2 B ，所以先到点 A 处吃草，再到点 B 处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走 的总路程最短． 知 2 －讲 解 ： （来自 《 点拨 》 ） 解决“两线＋一点”型最短路径问题 ，要作 两次轴对称，从而构造出最短路径． 知 2 －讲 知 2 －练 （来自 《 点拨 》 ） 1 为庆祝教师节，阳光中学八年级 (2) 班举行了一次文艺晚会，桌子摆成两条线 ( 如图中的 OA ， OB ，∠ AOB ＜ 90°) ，桌子 OA 上摆满了苹果，桌子 OB 上摆满了橘子，坐在 C 处的小华想先拿苹果再拿橘子，然后回到座位 C 处．请你帮助小华设计一条行走路线，使小华所走路程最短． ( 要求：作出路线图，并用字母表示出所走路线 ) 知 2 －练 （来自 《 典中点 》 ） 2 茅坪民族中学八 (2) 班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排 ( 图中的 AO ， BO ) ， AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 1. 最短路径问题的类型 ： (1) 两点一线型的线段和最小 值问题； (2) 两线一点型线段和最小值问题； (3) 两点 两线型的线段和最小值问题； (4) 造桥选址问题． 2. 解决最短路径问题的方法 ：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值． 1. 请你完成教材 P91-P93 复习题 13T15. 2. 补充：请完成 《 典中点 》 剩余部分习题 . 必做：