【人教版】2018年秋九年级数学上：24.4.1弧长和扇形面积ppt课件.ppt

24.4 弧长和扇形面积 第二十四章 圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 弧长和扇形面积 学习目标 1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程 .( 难点） 2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算 . （重点） 导入新课 图片欣赏 问题 1 如图，在运动会的 4 × 100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题 2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的 . 导入新课 情境引入 讲授新课 与弧长相关的计算 一 问题 1 半径为 R 的圆 , 周长是多少？ O R 问题 2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几 ? O R 180° O R 90° O R 45° O R n ° 合作探究 (1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 __________. (2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 __________. (3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 __________. (4) 圆心角是 n ° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 __________. 用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义． n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的 . 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为 60 ° ， 半径是 4 ， 则弧长为 ____ . 知识要点 弧长公式 例 1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度 l. ( 单位： mm ，精确到 1 mm ) 解：由弧长公式，可得弧 AB 的长 因此所要求的展直长度 l =2×700+1570=2970 （ mm ） . 答：管道的展直长度为 2970mm ． 700mm 700mm R =900mm ( 100 ° A C B D O · O A 解：设半径 OA 绕轴心 O 逆时针 方向旋转的度数为 n °. 解得 n ≈90° 因此，滑轮旋转的角度约为 90°. 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径 r=10cm ，当重物上升 15.7cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度（假设绳索与 滑轮之间没有滑动， 取 3.14 ）？ 练一练 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作 扇形 . 如图，黄色部分是一个扇形，记作 扇形 OAB . 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 与扇形面积相关的计算 二 概念学习 下列图形是扇形吗？ 判一判 √ × × × √ 合作探究 问题 1 半径为 r 的圆 , 面积是多少？ O r 问题 2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢 ? 圆心角占 周角的比例 扇形面积 占 圆 面积 的比例 扇形的 面积 = O r 180° O r 90° O r 45° O r n ° 半径为 r 的圆中，圆心角为 n ° 的扇形的面积 ① 公式中 n 的意义． n 表示 1° 圆心角的倍数，它是 不带单位 的； ② 公式要 理解记忆（ 即按照上面推导过程记忆） . 注意 知识要点 ___ 大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关， ___ 越长，面积越大 . 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大 . 圆心角 半径 圆心角 总结： 扇形的面积与 圆心角、半径 有关 . O ● A B D C E F O ● A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 问题： 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 例 3 如图，圆心角为 60 ° 的扇形的半径为 10cm . 求这个扇形的面积和周长 . （精确到 0.01cm 2 和 0.01cm ） O R 60° 解： ∵ n =60 ， r = 10cm ， ∴ 扇形的面积为 扇形的周长为 1. 已知半径为 2cm 的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积 S 扇 = ． 2. 已知扇形的圆心角为 120° ，半径为 2 ，则这个扇形的面积 S 扇 = . 试一试 例 4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm ，其中水面高 0.3cm ，求截面上有水部分的面积 . （精确到 0.01cm ） (1) O . B A C 讨论： (1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分 . O. B A C D (2) O. B A C D (3) (2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段 DC . 过点 O 作 OD 垂直符号于 AB 并长交圆 O 于 C . (3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积 = 扇形 OAB 的面积 - △ OAB 的面积 解：如图，连接 OA ， OB ，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D ，交 AB 于点 C , 连接 AC . ∵ OC ＝ 0.6, DC ＝ 0.3, ∴ OD ＝ OC - DC ＝ 0.3 ， ∴ OD ＝ DC . 又 AD ⊥ DC ， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线， ∴ AC ＝ AO ＝ OC . 　 从而 ∠ AOD ＝ 60˚, ∠ AOB =120˚. O . B A C D (3) 　　 有水部分的面积： S ＝ S 扇形 OAB - S Δ OAB O B A C D (3) O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 S 弓形 = S 扇形 - S 三角形 S 弓形 = S 扇形 + S 三角形 知识要点 弓形的面积公式 2. 如图， Rt △ ABC 中，∠ C =90°, ∠ A =30°, BC =2, O 、 H 分别为 AB 、 AC 的中点，将 △ ABC 顺时针旋转 120° 到 △ A 1 BC 1 的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过的面积为 （ ） B ． C. D. 1. 已知弧所对的 圆周角 为 90°, 半径是 4, 则弧长为 . 当堂练习 C A B C O H C 1 A 1 H 1 O 1 3. 如图， ☉ A 、 ☉ B 、 ☉ C 、 ☉ D 两两不相交，且半径都是 2cm ， 则图中阴影部分的面积是 . A B C D 解析：点 A 所经过的路线的长为三个半径为 2 ，圆心角为 120° 的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为 90° 的扇形弧长之和， 即 4. 如图， Rt△ ABC 的边 BC 位于直线 l 上， AC ＝ ， ∠ ACB ＝ 90° ， ∠ A ＝ 30°. 若 Rt△ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线的长为 ________( 结果用含 π 的式子表示 ) ． 5. （例题变式题） 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm ，其中水面高 0.9cm ， 求截面上有水部分的面积 . O A B D C E 解： 6. 如图，一个边长为 10cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到△ A ' B ' C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程为多少 . A B A' B' C 解 由图可知，由于 ∠ A ' CB ' =60 °，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了 120 °，即 ∠A CA ' =120 °，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 A A ' 的长 . ∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10cm ， ∴ 弧 A A ' 所在圆的半径为 10cm. ∴ l 弧 A A ' 答：顶点 A 从开始到结束时所经过的路程为 课堂小结 弧长 计算公式： 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法： 整体思想 弓形 公式 S 弓形 = S 扇形 - S 三角形 S 弓形 = S 扇形 + S 三角形 割补法 视频：弧长和扇形面积公式的推导 见 《 学练优 》 本课时练习 课后作业