2018人教B版数学选修4-4课件2.1　曲线的参数方程 .ppt

2 . 1 　曲线的参数方程 1 . 了解抛射体的运动及学习参数方程的必要性 . 2 . 理解参数方程、普通方程的概念 , 通过比较参数方程和普通方程 , 体会两者的联系与区别 . 1 2 3 4 1 . 抛射体的运动 火炮发射炮弹后 , 炮弹在空中形成一条 轨道曲线 . 假设轨道曲线为一平面曲线 , 炮弹在运动中仅受重力作用 , 不计空气 阻力 , 也不受其他环境的影响 , 炮弹的初 速度为 v 0 , 发射角 ( 仰角 ) 为 α . 为了描述这一运动 , 以火炮所在位置 ( 炮口 ) 为原点 , 地平线 ( 水平方向 ) 为 x 轴 , y 轴竖直向上建立直角坐标系 , 如图所示 , 把时间记为 t , 开始发射时 , 记 t= 0 . 1 2 3 4 2 . 曲线的参数方程的定义 设在平面上取定了一个直角坐标系 xOy , 把坐标 x , y 表示为第三个变量 t 的函 如果对于 t 的每一个值 ( a ≤ t ≤ b ), ① 式所确定的点 M ( x , y ) 都在一条曲线上 ; 而这条曲线上的任一点 M ( x , y ), 都可由 t 的某个值通过 ① 式得到 , 那么称 ① 式为该曲线的参数方程 , 其中变量 t 称为参数 . 简单地说 , 若 t 在 a ≤ t ≤ b 内变动时 , 由 ① 式确定的点 M ( x , y ) 描出一条曲线 , 则称 ① 式为该曲线的参数方程 . 1 2 3 4 答案 : 6 1 2 3 4 分析 把 A , B 两点的坐标分别代入方程验证即可 . 1 2 3 4 3 . 参数的取值范围 名师点拨 参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中 , 其他的坐标系也可以采用参数方程 . 1 2 3 4 4 . 参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程是通过曲线上点的坐标 x 和 y 与 t 的关系来反映 x 和 y 之间的联系的 . 如果能从方程中消去参数 t , 就得到联系 x 和 y 的方程 F ( x , y ) = 0, 而且这个方程的每一组解 ( x , y ) 都可从 t 的某个值通过 ① 式得到 , 那么方程 F ( x , y ) = 0 就是这条曲线的直角坐标方程 ( 即普通方程 ) . 参数方程和普通方程互化需注意以下两点 : (1) 曲线的 参数 方程和 普通 方程是曲线方程的不同形式 . (2) 在参数方程与普通方程的互化中 , 必须使 x , y 的 取值范围 保持一致 . 一条曲线是用直角坐标方程表示还是用参数方程表示 , 要根据具体情况确定 . 1 2 3 4 分析 把参数 t 消掉 , 注意范围 . 曲线的参数方程的特点 剖析 曲线的普通方程反映了一条曲线上的点的横坐标、纵坐标之间的直接联系 , 而参数方程是通过参数反映坐标变量 x , y 间的间接联系 . 在具体问题中 , 参数可能有相应的几何意义 , 也可能没有什么明显的几何意义 . 曲线的参数方程常常是方程组的形式 , 任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点 , 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值 . 在具体问题中 , 如果要求相应曲线的参数方程 , 首先就要注意参数的选取 . 一般来说 , 选择参数时应注意考虑以下两点 : 一是曲线上每一点的坐标 ( x , y ) 都能由参数取某一值唯一地确定出来 ; 二是参数与 x , y 之间的相互关系比较明显 , 容易列出方程 . 参数的选取应根据具体条件来考虑 , 可以是时间 , 也可以是线段的长度、方位角、旋转角 , 动直线的斜率、倾斜角、截距 , 动点的坐标等 . 有时为了便于列出方程 , 也可以选两个或两个以上的参数 , 再设法消去其中的参数得到普通方程 , 或剩下一个参数得到参数方程 . 但这样做往往增加了变形与计算的麻烦 , 所以参数的个数一般应尽量少 . 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思 解答本题需首先设出点 M 的坐标 , 然后由中点坐标公式用点 M 的坐标表示点 P 的坐标 , 最后把点 P 的坐标代入曲线的参数方程化简即可 . 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思 利用参数方程求最值 , 可以把问题直接转化成三角函数问题 , 从而使整个运算过程得到简化 . 题型一 题型二 题型三 A. y=x- 2 B. y=x+ 2 C. y=x- 2(2≤ x ≤3) D. y=x+ 2(0≤ y ≤1) 错解 将参数方程中 sin 2 θ 消去 , 得 y=x- 2, 故选 A . 错因分析 忽略了参数方程中 0≤sin 2 θ ≤1 的限制 . 正解 消参得 y=x- 2 . ∵ 0≤sin 2 θ ≤1, ∴ 2≤2 + sin 2 θ ≤3, 即 x ∈ [2,3] . ∴ 普通方程为 y=x- 2(2≤ x ≤3) . 故选 C . 答案 : C 反思 参数方程与普通方程互化时 , 要注意参数的取值范围 . 1 2 3 4 1. 当参数 θ 变化时 , 由点 P (2cos θ ,3sin θ ) 所确定的曲线过点 ( 　　 ) A.(2,3) B.(1,5) D.(2,0) 解析 : 当 2cos θ = 2, 即 cos θ = 1 时 ,3sin θ = 0 . 答案 : D 1 2 3 4 化为普通方程是 y 2 = 1 +x ( - 1≤ x ≤1), 把 A,B,C,D 各项中点的坐标代入 , 验证等式是否成立即可 . 答案 : B 1 2 3 4 答案 : B 1 2 3 4