3.5 圆周角（1）
.
O
B
C
A
特征：
① 角的顶点在圆上
.
② 角的两边都与圆相交
.
圆周角定义
:
顶点在圆上
,
并且两边都和圆相交的
角叫圆周角
.
圆周角的定义
Z.x.x. K
1.
判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
辨一辨
请画出
BC
所对的圆心角以及圆周角
画一画
O
C
B
BC
所对的圆心角有几个？
BC
所对的圆周角有几个？
思考：
●
O
A
B
C
D
E
●
O
B
C
以不变应万变
（弧不变）
如图：
找出图中的所有圆周角
.
A
B
C
D
你来练一练
图中的圆周角有
:
∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA ∠DAC
你来练一练
A
B
C
O
如图：
BC
所对的圆心角为
， 所对的圆周角为
。
思考：
∠
A与同弧所对的圆心角
∠
BOC 的度数有何关系？
∠
BOC
∠
BAC
Zx.xk
你来猜一猜
A
B
C
O
思考：
∠
A与同弧所对的圆心角
∠
BOC 的度数有何关系？
猜想：
∠
A＝
∠
BOC
即：
∠
BOC＝2
∠
A
命题：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
Zx.xk
C
A
B
O
A
B
C
C
O
O
A
B
已知
：
如图，∠
BOC
和∠
BAC
分别是
BC
所对的圆心角和圆周角
求证：∠
BAC= ∠BOC
⌒
温馨提示：分类
角边上 角内 角外
A
B
O
C
证明：（
1
）当圆心
O
在圆周角∠
BAC
的一边
AB
上时
∵
OA=OC
∴∠BAC=∠C
∵∠BOC
是△
OAC
的外角
∴∠
BOC=∠C+∠BAC
=2∠BAC
∴∠BAC= ∠BOC
特殊：圆心
O
落在圆周角的边上！！
求证
：
∠
BAC= ∠BOC
B
A
C
D
O
(
2)
当圆心
O
在圆周角∠
BAC
的内部时
,
过点
A
作直径
AD
由
(1)
得∠
BAD= ∠BOD
∠DAC= ∠DOC
∴ ∠BAD+ ∠DAC= (∠BOD + ∠DOC)
即
: ∠BAC= ∠BOC
能否也使圆心
O
落在圆周角的边上
?
求证
：
∠
BAC= ∠BOC
B
A
C
D
O
(3)
当圆心
O
在∠
BAC
的外部时
,
过点
A
作直径
AD,
则由
(1)
得
∠
DAC= ∠DOC ∠DAB= ∠DOB
∴ ∠DAC--∠DAB= (∠DOC -- ∠DOB)
即
:∠BAC= ∠BOC
能否也使圆心
O
落在圆周角的边上
?
求证
：
∠
BAC= ∠BOC
●
O
B
A
C
●
O
B
A
C
●
O
B
A
C
圆周角定理：
一条弧所对的
圆周角
等于它所对的
圆心角
的
一半
。
∵∠
BAC
和∠
BOC
都对
BC
∴∠BAC= ∠BOC
⌒
∠
C =∠D=∠E
问题
1
、如图
1,
在⊙
O
中
,∠C,∠D,∠E
的大小有什么关系
?
为什么
?
图
1
●
O
C
A
B
D
E
七嘴八舌
同弧所对的圆周角相等！
问题
2
、如图
2
，
BC
是⊙
O
的直径，
A
是⊙
O
上任一点，你能确定∠
BAC
的度数吗
?
B
A
O
C
图
2
∠
BAC=90
º
问题
3
：如图
3
，圆周角∠
BAC=90
º
，弦
BC
经过圆心
O
吗？为什么？
●
O
B
C
A
图
3
半圆或直径
所对的圆周角是
直角
,
90°的圆周角
的所对的弦是
直径。
推论：
A
B
O
C
试一试
只给你一把三角尺，你能找出一个圆（如图）的圆心吗？
思考题
：
如图，在⊙
O
中，
DE=2BC
， ∠
EOD=64°
，求∠
A
的度数。
︵
︵
A
B
C
D
E
O
你好聪明！
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
本节课你学到了什么？ 有何收获？
本节课涉及：
（
1
）研究方法：特殊
——
一般
——
特殊
（
2
）数学思想：转化、分类讨论。
猜想
归纳
应用
1
、圆周角的概念。
2
、圆周角的定理及推论。
3
、应用定理及推论。
本节课你体会到了哪些数学思想与方法？
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