选修4-4第二讲_参数方程(曲线的参数方程).ppt

圆的参数方程 圆心为原点半径为 r 的圆的参数方程 . 其中参数 θ 的几何意义是 OM 0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时， OM 0 转过的角度 圆心为 ， 半径为 r 的圆的参数方程 一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。 例 1 如图 , 圆 O 的半径为 2 ， P 是圆上的动点， Q(6,0) 是 x 轴上的定点， M 是 PQ 的中点，当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时，求点 M 的轨迹的参数方程。 y o x P M Q 解：设点 M 的坐标是 (x, y), 则点 P 的坐标是 (2cos θ ,2sin θ ). 由中点坐标公式可得 因此，点 M 的轨迹的参数方程是 例 2 已知 x 、 y 满足 , 求 的最大值和最小值． 解：由已知圆的参数方程为 例 3 已知 A （ ―1 ， 0 ）、 B （ 1 ， 0 ） ,P 为圆 上的一点 , 求 的最大值和最小值以及对应 P 点的坐标 . 参数方程和普通方程的互化 把它化为我们熟悉的普通方程，有 cosθ=x-3, sinθ=y; 于是 (x-3) 2 +y 2 =1 ， 轨迹是什么就很清楚了 在例 1 中，由参数方程 直接判断点 M 的轨迹是什么并不方便， 一般地 , 可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程； 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 . 在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x ， y 的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的 . 把参数方程化为普通方程： 例 1 、 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ 解 : (1) 由 得 代入 得到 这是以（ 1 ， 1 ）为端点的一条射线； 所以 把 得到 (1) (2) (3) x=t+1/t y=t 2 +1/t 2 (1) (x-2) 2 +y 2 =9 (2) y=1- 2x 2 （ - 1≤x≤1 ） (3) x 2 - y=2 （ x≥2 或 x≤- 2 ） 练习、 将下列参数方程化为普通方程： 步骤： （ 1 ）消参； （ 2 ）求定义域。 B 例 2 求参数方程 表示（ ） （ A ）双曲线的一支 , 这支过点（ 1, 1/2 ） ; （ B ）抛物线的一部分 , 这部分过（ 1, 1/2 ） ; （ C ）双曲线的一支 , 这支过点（ –1, 1/2); （ D ）抛物线的一部分 , 这部分过（ –1, 1/2). 普通方程化为参数方程： 普通方程化为参数方程需要引入参数： 如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0 ，可以化为参数方程 : 一般地 , 如果知道变量 x, y 中的一个与参数 t 的关系 , 例如 x=f(t) ，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数 t 的关系 y=g(t) ，那么 : 就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x, y 的取值范围保持一致 例 3 求椭圆 的参数方程： (1) 设 为参数； (2) 设 为参数 . 为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？ 在 y=x 2 中， x∈R, y≥0 ， 因而与 y=x 2 不等价； 练习 : 曲线 y=x 2 的一种参数方程是（ ） . 在 A 、 B 、 C 中， x, y 的范围都发生了变化， 而在 D 中， x, y 范围与 y=x 2 中 x, y 的范围相同， 代入 y=x 2 后满足该方程， 从而 D 是曲线 y=x 2 的一种参数方程 . 在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x ， y 的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的 . 解： 完成活页：圆的参数方程一节