高考导航
函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性
(
求函数的单调区间
)
、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有
.
热点一 利用导数研究函数的性质
以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点重点
.
本热点主要有三种考查方式：
(1)
讨论函数的单调性或求单调区间；
(2)
求函数的极值或最值；
(3)
利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围
.
【例
1
】
(2015·
全国
Ⅱ
卷
)
已知函数
f
(
x
)
＝
ln
x
＋
a
(1
－
x
).
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性；
(2)
当
f
(
x
)
有最大值，且最大值大于
2
a
－
2
时，求
a
的取值范围
.
探究提高
(1)
判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断
f
′(
x
)
的符号问题上，而
f
′(
x
)>0
或
f
′(
x
)0
时，解不等式
f
(
x
)
≤
0
；
(2)
当
a
＝
0
时，求整数
t
的所有值，使方程
f
(
x
)
＝
x
＋
2
在
[
t
，
t
＋
1]
上有解
.
所以方程
f
(
x
)
＝
x
＋
2
有且只有两个实数根且分别在区间
[1
，
2]
和
[
－
3
，－
2]
上，所以整数
t
的所有值为
{
－
3
，
1}.
热点三 利用导数研究不等式问题
(
规范解答
)
导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题
.
归纳起来常见的命题角度有：
(1)
证明不等式；
(2)
不等式恒成立问题
；
(
3)
存在型不等式成立问题
.
❶
得步骤分：抓住得分点的步骤，
“
步步为赢
”
，求得满分
.
如第
(1)
问中，求导正确，分类讨论；第
(2)
问中利用单调性求
f
(
x
)
的最小值和基本不等式的应用
.
❷
得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第
(1)
问中，求出
f
(
x
)
的定义域，
f
′(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上单调性的判断；第
(2)
问，
f
(
x
)
在
x
＝
x
0
处最值的判定
.
第一步：
求函数
f
(
x
)
的导函数
f
′(
x
)
；
第二步：
分类讨论
f
′(
x
)
的单调性；
第三步：
判断
f
′(
x
)
零点的个数；
第四步：
证明
f
(
x
)
在
f
′(
x
)
的零点取到最小值
.
第五步
：
求出
f
(
x
)
最小值的表达式，证明结论成立；
第六步：
反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范
.
【训练
3
】
(2016
·全国
Ⅱ
卷
)
已知函数
f
(
x
)
＝
(
x
＋
1)ln
x
－
a
(
x
－
1).
(1)
当
a
＝
4
时，求曲线
y
＝
f
(
x
)
在
(1
，
f
(1))
处的切线方程；
(2)
若当
x
∈
(1
，＋
∞
)
时，
f
(
x
)>0
，求
a
的取值范围
.
微信/支付宝扫码支付