北师大版七年级数学下册《1.6.1完全平方公式的认识》课件.ppt

1.6 完全平方公式 第 1 课时 完全平方公式的认识 第一章 整式的乘除 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1. 理解并掌握 完全平方 公式的推导过程、结构特点 ; （重点） 2. 会运用公式进行简单的运算； ( 难点 ) 平方差公式： ( a+b )( a － b ) =a 2 － b 2 2. 公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差 . 1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？ 导入新课 复习巩固 情境引入 一块边长为 a 米的正方形实验田， 因需要将其边长增加 b 米 . 形成四块实验田，以种植不同的新品种 ( 如图 ). 用不同的形式表示实验田的总面积 , 并进行 比较 . 你发现了什么？ a a b b 直接求：总面积 = ( a+b )( a+b ) 间接求：总面积 = a 2 + ab+ab+b 2 ( a+b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 讲授新课 完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （ 1 ） （ p +1) 2 =( p +1)( p +1)= . p 2 +2 p +1 （ 2 ） （ m +2) 2 =( m +2)( m +2)= . m 2 +4 m +4 （ 3 ） （ p － 1) 2 =( p － 1)( p － 1)= . p 2 － 2 p +1 （ 4 ） （ m － 2) 2 =( m － 2)( m － 2)= . m 2 － 4 m +4 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ ( a ＋ b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 ( a － b ) 2 = . a 2 － 2 ab + b 2 知识要点 完全平方公式 （ a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 （ a-b ) 2 = . a 2 -2 ab + b 2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍 . 这两个公式叫作完全平方公式 . 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间” 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同 . 4. 公式中的字母 a ， b 可以表示数，单项式和多项式 . 你能根据图 1 和图 2 中的面积解释完全平方公式吗 ? b a a b b a b a 图 1 图 2 想一想 : 几何解释 : a a b b = + + + a 2 ab ab b 2 （ a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 和的完全平方公式： a 2 − a b − b ( a − b ) = a 2 −2 a b + b 2 . = ( a − b ) 2 a − b a − b a a a b b ( a − b ) b b ( a − b ) 2 几何解释 : （ a - b ) 2 = . a 2 -2 ab + b 2 差的完全平方公式： 典例精析 例 1 运用完全平方公式计算： 解 : (2 x － 3) 2 = =4 x 2 (1)(2 x － 3) 2 ； ( a － b ) 2 = a 2 － 2 ab + b 2 (2 x ) 2 － 2•(2 x ) •3 +3 2 － 12 x +9 ； ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 y 2 (2) ( y + ) 2 . = y 2 + y + + ( ) 2 + 2 • y • 解： ( y + ) 2 = 思考 ( a + b ) 2 与 ( -a-b ) 2 相等吗 ? ( a - b ) 2 与 ( b - a ) 2 相等吗 ? ( a - b ) 2 与 a 2 - b 2 相等吗 ? 为什么 ? (- a-b ) 2 =(- a ) 2 -2 · (- a ) · b + b 2 = a 2 +2 ab + b 2 =( a+b ) 2 ( b-a ) 2 = b 2 -2 ba + a 2 = a 2 -2 ab + b 2 =( a - b ) 2 ( a-b ) 2 = a 2 - b 2 不一定相等 . 只有当 b =0 或 a = b 时， ( a - b ) 2 = a 2 - b 2 . 例 2 运用乘法公式计算 : (1) ( x +2 y － 3)( x － 2 y +3) ; 解 : 原式 =[ x +(2 y － 3)][ x － (2 y － 3)] = x 2 － (2 y － 3) 2 = x 2 － (4 y 2 － 12 y +9) = x 2 － 4 y 2 +12 y － 9. 方法总结：需要分组 . 分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组” . (2) ( a+b － 5) 2 . 解：原式 = [( a+b ) － 5 ] 2 = ( a+b ) 2 － 10( a+b )+ 5 2 = a 2 +2 ab + b 2 － 10 a － 10 b +25 方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用 完全平方公式计算 . 例 3 如果 36 x 2 ＋ ( m ＋ 1) xy ＋ 25 y 2 是一个完全平 方式，求 m 的值． 解： ∵ 36 x 2 ＋ ( m ＋ 1) xy ＋ 25 y 2 ＝ (±6 x ) 2 ＋ ( m ＋ 1) xy ＋ (±5 y ) 2 ， ∴ ( m ＋ 1) xy ＝ ±2 · 6 x · 5 y ， ∴ m ＋ 1 ＝ ±60 ， ∴ m ＝ 59 或 － 61. 方法总结： 两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解． 当堂练习 1 ． 在等号右边的括号内填上适当的项： （ 1 ） a + b － c=a + （ ） （ 2 ） a － b+c=a － （ ） （ 3 ） a － b － c=a － （ ） （ 4 ） a+b+c=a － （ ） b-c b-c b+c - b-c 能否用去括号法则检查添括号是否正确 ? 2. 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？ （ 1 ） ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 (2)( x － y ) 2 = x 2 － y 2 (3) ( － x + y ) 2 = x 2 +2 xy + y 2 (4) (2 x + y ) 2 =4 x 2 +2 xy + y 2 × × × × x 2 +2 xy + y 2 x 2 － 2 xy + y 2 x 2 － 2 xy + y 2 4 x 2 + 4 xy + y 2 (1) (6 a +5 b ) 2 ； =36 a 2 +60 ab +25 b 2 ； (2) (4 x － 3 y ) 2 ； =16 x 2 － 24 xy +9 y 2 ； (3) (2 m － 1) 2 ； =4 m 2 － 4 m +1 ； (4)( － 2 m － 1) 2 . =4 m 2 +4 m +1. 3. 运用完全平方公式计算 : 课堂小结 完全平方公式 法则 注意 ( a ± b ) 2 = a 2 ±2 ab+b 2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 弄清完全平方公式和平方差 公式的不同点（从公式结构 特点及结果两方面）