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‎1.等腰三角形(2)——等腰三角形的判定 知识点一　等腰三角形的判定 ‎1.把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形,拼成如图所示的图形,两条直角边在同一直线上.图中等腰三角形的个数是(C　)‎ ‎　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是△ABC,△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有(A　)‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 知识点二　反证法 ‎3.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设(D　)‎ A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c C.a⊥b D.a与b相交 7‎ ‎4.导学号99804008用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°”时,应假设这个三角形中(B　)‎ A.有一个内角小于60°‎ B.每一个内角都小于60°‎ C.有一个内角大于60°‎ D.每一个内角都大于60°‎ ‎5.求证:在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等.‎ 证明假设在一个三角形中,这两个角所对的边相等,那么根据等边对等角,可知它们所对的两个角也相等,这与已知条件相矛盾,所以假设不成立.因此,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等.‎ 知识点三　等边三角形的判定 ‎6.符合下列条件时不能判定三角形为等边三角形的是(C　)‎ A.有两个角为60°的三角形 B.三个外角都相等的三角形 C.一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 D.有一个角为60°的等腰三角形 ‎7.导学号99804009如图所示,过等边△ABC的顶点A,B,C依次作AB,BC,CA的垂线围成△MNG.求证:△MNG是等边三角形.‎ 证明∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠ABC=60°.‎ ‎∵BC⊥MN,BA⊥MG,‎ 7‎ ‎∴∠CBM=∠BAM=90°.‎ ‎∴∠ABM=90°-∠ABC=30°.‎ ‎∴∠M=90°-∠ABM=60°.‎ 同理可得∠N=∠G=60°.‎ ‎∴△MNG为等边三角形.‎ 知识点四　含30°角的直角三角形的性质 ‎8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.若△BCD是等边三角形,CD=2 cm,则AB的长是4 cm　. ‎ ‎9.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D,若AB=4,求BD的长.‎ 解在Rt△ABC中,‎ ‎∵∠ACB=90°,∠A=30°,‎ ‎∴BC=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎×4=2.‎ ‎∵CD⊥AB于点D,‎ ‎∴∠BCD=∠A=30°.‎ ‎∴BD=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎×2=1.‎ 7‎ 拓展点一　角平分线+平行线→等腰三角形 ‎1.导学号99804010如图,在△ABC中,AE是∠BAC的外角∠DAC的平分线,且AE∥BC.求证:△ABC是等腰三角形.‎ 证明∵AE是∠DAC的平分线,‎ ‎∴∠DAE=∠EAC.‎ ‎∵AE∥BC,‎ ‎∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.‎ ‎∴∠B=∠C.∴AB=AC.‎ ‎∴△ABC是等腰三角形.‎ ‎2.如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于‎1‎‎2‎GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.‎ ‎(1)求证:AB=AE;‎ ‎(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.‎ ‎(1)证明∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC.‎ ‎∵BE平分∠ABC,∴∠EBC=∠ABE.‎ ‎∴∠AEB=∠ABE.∴AB=AE.‎ ‎(2)解由(1)知AB=AE,∴∠ABE=∠AEB.‎ 7‎ ‎∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°,‎ ‎∴∠ABE=∠AEB=‎1‎‎2‎(180-∠A)‎ ‎=‎1‎‎2‎(180°-100°)=40°.‎ ‎∴∠EBC=∠AEB=40°.‎ 拓展点二　构造含30°角的直角三角形解决问题 ‎3.若等腰三角形的底角等于15°,腰上的高为6,则腰长是12　. ‎ ‎4.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要多少元?‎ 解如图,作BA边的高CD,设与BA的延长线交于点D.‎ ‎∵∠BAC=150°,∴∠DAC=30°.‎ ‎∵CD⊥BD,AC=30 m,∴CD=15 m.‎ ‎∵AB=20 m,∴S△ABC=‎1‎‎2‎AB×CD=‎1‎‎2‎×20×15=150(m2).‎ ‎∵草皮每平方米售价为a元,∴购买这种草皮的价格为150a元.‎ 7‎ ‎1.(2015·义乌中考)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是18　 cm. ‎ ‎2.(2017·四川内江中考)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.‎ 证明∵DE∥AC,‎ ‎∴∠CAD=∠ADE.‎ ‎∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD.‎ ‎∴∠EAD=∠ADE.‎ ‎∵AD⊥BD,∴∠EAD+∠B=90°,∠ADE+∠BDE=90°.‎ ‎∴∠B=∠BDE.‎ ‎∴EB=ED,即△BDE是等腰三角形.‎ ‎3.导学号99804011(2016·宁夏中考)在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,若CD=2,求EF的长.‎ 解∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠B=∠ACB=60°.‎ ‎∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.‎ ‎∴△EDC是等边三角形,∴DE=DC=2.‎ 在Rt△DEF中,∠DEF=90°,‎ 7‎ ‎∴∠DFE=90°-∠EDC=90°-60°=30°,‎ ‎∴DF=2DE=4.‎ ‎∴EF=DF‎2‎-DE‎2‎‎=‎‎4‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=2‎3‎.‎ ‎4.导学号99804012如图所示,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD,CE交于点O,给出下列四个条件:‎ ‎①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.‎ ‎(1)上述四个条件中,哪两个条件可以判断△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有情形)‎ ‎(2)选择(1)中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.‎ 解(1)①③或①④或②③或②④.‎ ‎(2)如①③组合.‎ 证明 ∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,∴△EOB≌△DOC(AAS).‎ ‎∴OB=OC.∴∠OBC=∠OCB.‎ ‎∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,‎ 即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.‎ ‎∴△ABC是等腰三角形.‎ 7‎