小结与复习
第
25
章 概率初步
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
一、事件的分类及其概念
要点梳理
事件
确定事件
随机事件
必然事件
不可能事件
1.
在一定条件下
必然发生
的事件，叫做必然事件；
2.
在一定条件下
不可能发生
的事件，叫做不可能事件；
3.
在一定条件下
可能发生也可能不发生
的事件，叫做随
机事件
.
1.
概率：
一般地，对于一个随机事件
A
，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件
A
发生的
概率
，记作
P
（
A
）
.
二、
概率的概念
0
1
事件发生的可能性越来越大
事件发生的可能性越来越小
不可能事件
必然事件
概率的值
2.
三、随机事件的概率的求法
1.
①当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们用大量重复试验中随机事件发生的稳定
频率来估计概率
.
②
频率与概率的关系
：两者都能定量地反映随机事件
可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有
的性质，不具有随机性
.
2.
概率的计算公式：
一般地，如果在一次试验中，有
n
种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果的概率都是
.
如果事件
A
包括其中的
m
种可能的结果，那么事件
A
发生的概率
P
(
A
)= + +
…
+
n
1
n
1
n
1
m
个
=
n
m
当一次试验要涉及两个因素
,
并且可能出现的结果数目较多时
,
为了不重不漏的列出所有可能的结果
,
通常采用
列表法
.
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况
,
即
n
在所有可能情况
n
中
,
再找到满足条件的事件的个数
m,
最后代入公式计算
.
列表法中表格构造特点
:
当一次试验中涉及
3
个因素
或
更多的因素
时
,
怎么办
?
四、列表法
当一次试验中涉及
2
个因素或更多的因素时
,
为了不重不漏地列出所有可能的结果
,
通常采用“
树状图
”
.
树形图的画法
:
一个试验
第一个因数
第二个
第三个
如一个试验中涉及
2
个或
3
个因数
,
第一个因数中有
2
种可能情况
;
第二个因数中有
3
种可能的情况
;
第三个因数中有
2
种可能的情况
.
A
B
1
2
3
1
2
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
n=2×3×2=12
五、树状图法
考点一 事件的判断和概率的意义
考点讲练
例
1
下列事件是随机事件的是（ ）
A.
明天太阳从东方升起
B.
任意画一个三角形，其内角和是
360°
C.
通常温度降到
0℃
以下，纯净的水结冰
D.
射击运动员射击一次，命中靶心
D
1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰是红球的概率是 ”
的意思是
（
）
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次摸中红球
C．摸7次，就有2次摸中红球
D．摸7次，就有5次摸不中红球
B
针对训练
2.
下列事件中是必然事件的是（ ）
A
．
从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
B
．
小丹的自行车轮胎被钉子扎坏
C
．
小红期末考试数学成绩一定得满
分
D
．
将油滴入水中，油会浮在水面上
D
考点二 用列举法求概率
例
2
如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
C
例
3
如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．
（1）写出k为负数的概率；
（2）求一次函数
y=kx+b
的图象经过
二、三、四象限的概率
.
解：（
1
）P（k为负数）= .
【
解析
】
（1）因为－
1
，－
2
，3中有两个负数，故k为负数的概率为 ；
（2）由于一次函数
y=kx+b
的图象经过二、三、四象限时，
k
，
b
均为负数，
所以在画树形图列举出
k
、
b
取值的所有情况后，从中找出所有k、b均为负数的情况，即可得出答案．
（
2
）画树状图如右：
由树状图可知，
k
、
b
的取值共有
6
种情况，
其中
k
＜
0
且
b
＜
0
的情况有
2
种，
∴P
（一次函数
y=kx+b
的图象经过第二、三、四象限）
= .
3. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
A
针对训练
考点三
用频率估计概率
例
4
在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A
.
频率就是概率
B
.
频率与试验次数无关
C
.
概率是随机的，与频率无关
D
.
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
例
5
在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有
40
个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在
15
％
和
45
％，
则口袋中白色球的个数最有可能是（
）
A.24
个
B.18
个
C.16
个
D.6
个
C
4.
在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有３个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为_____．
解析：设口袋中球的总个数为
x
，
则摸到红球的概率为 ，
所以
x=
15
．
针对训练
15
考点五 用概率作决策
例
6
在一个不透明的口袋里分别标注
2
、
4
、
6
的
3
个小球（小球除数字外，其余都相同），另有
3
张背面完全一样，正面分别写有数字
6
、
7
、
8
的卡片
.
现从口袋中任意摸出一个小球，再从这
3
张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片
.
（
1
）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果；
解：
（
1
）
列表如下
6
7
8
2
（
6
，
2
）
（
7
，
2
）
（
8
，
2
）
4
（
6
，
4
）
（
7
，
4
）
（
8
，
4
）
6
（
6
，
6
）
（
7
，
6
）
（
8
，
6
）
卡片
小球
共有
9
种等可能结果；
（
2
）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则：
规则
1
：若两次摸出的数字，至少有一次是“
6
”，小红赢；否则，小莉赢；
规则
2
：
若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢
.
小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由
.
规则
1
：
P
(
小红赢
）
=
；
规则
2
：
P
(
小红赢
）
=
∵ ， ∴小红选择规则
1.
5.A
、
B
两个小型超市举行有奖促销活动，顾客每购满
20
元就有一次按下面规则转动转盘获奖机会，且两超市奖额等同
.
规则是： ①
A
超市把转盘甲等分成
4
个扇形区域、
B
超市把转盘乙等分成
3
个扇形区域，并标上了数字（如图所示）； ②顾客第一回转动转盘要转两次，第一次与第二次分别停止
后指针所指数字之和为奇数时
就获奖（若指针停在等分线上，
那么重转一次，直到指针指向
某一份为止）
.
1
1
2
2
3
3
4
甲
乙
针对训练
解：（
1
）列表格如下：
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
第一回
第二回
甲转盘
共有
16
种等可能结果，其中中奖的有
8
种；
∴
P
(
甲）
=
（
1
）利用树形图或列表法分别求出
A
、
B
两超市顾客一回转盘获奖的概率；
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
第一回
第二回
乙转盘
∴
P
(
乙）
=
共有
9
种等可能结果，其中中奖的有
4
种；
（
2
）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？说明理由
.
（
2
）
选甲超市
.
理由如下：
∵
P
(
甲）
>
P
(
乙）， ∴选甲超市
.
课堂小结
概率初步
随机事件与概率
事件
必然事件
不可能事件
随机事件
概率
定义
刻画随机事件发生可能性大小的数值
计算公式
列举法求概率
直接列举法
列表法
画树状图法
适合于两个试验因素或分两步进行
适合于三个试验因素或分三步进行
用频率估计概率
频率与概率的关系
在大量重复试验中，频率具有
稳定性时才可以用来估计概率
见
《
学练优
》
本课时练习
课后作业
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