2018年秋人教B版数学选修1-2 2.1.2　演绎推理.ppt

2 . 1 . 2 　演绎推理 1 . 结合已学过的数学实例和生活中的实例 , 体会演绎推理的重要性 , 掌握演绎推理的基本模式 , 并能用其进行简单的推理 . 2 . 通过具体的实例 , 了解合情推理和演绎推理之间的联系和区别 . 1 2 1 . 演绎推理 由概念的定义或一些真命题 , 依照一定的逻辑规则得到 正确结论 的过程 , 通常叫做演绎推理 . 演绎推理的特征是 : 当前提为 真 时 , 结论必然为 真 . 归纳总结 (1) 演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提 , 而作出关于该类事物中的个别特殊事物的判断的思维方式 , 因此 , 演绎推理是一种从一般到特殊的推理 . (2) 演绎推理的特征是 : 当前提为真时 , 只要推理规则正确 , 则结论必然为真 , 是一种必然性推理 . 即 : 由真命题 a , b , 遵循演绎推理规则得出命题 q , 则 q 必然为真 . 1 2 【做一做 1 】 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( 　　 ) A. 两条直线平行 , 同时和第三条直线相交 , 同旁内角互补 . 如果 ∠ A 和 ∠ B 是 两条平行直线与第三条直线相交形成的 同旁内角 , 则 ∠ A+ ∠ B= 180° B. 由平面三角形的性质 , 推测空间四面体的性质 C. 某校高三年级共有 10 个班 , 其中一班 51 人 , 二班 53 人 , 三班 52 人 , 由此推测各班都超过 50 人 D. 在数列 { a n } 中 , a 1 = 1, , 由此归纳出 数列 { a n } 的通项公式 解析 : 选项 B 为类比推理 , 选项 C,D 为归纳推理 , 由演绎推理的定义知 , 选项 A 符合 . 答案 : A 1 2 2 . 演绎推理的四种推理规则 (1) 假言推理 : 用符号表示这种推理规则就是 “ 如果 p ⇒ q , p 真 , 则 q 真 ” . 假言推理的本质是 , 通过验证结论的充分条件为真 , 判断结论为真 . (2) 三段论推理 : 用符号表示这种推理规则就是 “ 如果 M 是 P , S 是 M , 则 S 是 P. (3) 传递性关系推理 : 推理规则是 “ 如果 aRb , bRc , 则 aRc ”, 其中 “ R ” 表示具有传递性的关系 . (4) 完全归纳推理 : 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理 . 1 2 【做一做 2 】 下面说法正确的有 ( 　　 ) ① 演绎推理是由一般到特殊的推理 ; ② 演绎推理得到的结论一定是正确的 ; ③ 演绎推理的一般模式是 “ 三段论 ” 形式 ; ④ 演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 : ①③④ 正确 . ② 错误的原因是演绎推理的结论要为真 , 必须前提和推理形式都正确 . 答案 : C 1 2 1 . 合情推理与演绎推理的区别与联系有哪些 ? 剖析 : 1 2 1 2 2 . 演绎推理的特点是什么 ? 剖析 :(1) 演绎推理的前提是一般性原理 , 演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实 , 结论完全蕴含于前提之中 . (2) 在演绎推理中 , 前提与结论之间存在必然的联系 , 只要前提是真实的 , 推理的形式是正确的 , 那么结论也必定是正确的 , 因而演绎推理是数学中严格证明的工具 . (3) 演绎推理是一种收敛性的思维方式 , 它缺乏创造性 , 但却具有条理清晰、令人信服的论证特点 , 有助于科学的理论化和系统化 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 假言推理 (1) 求 m 的值 ; (2) 若 在区间 (0,2] 上为减函数 , 求实数 a 的取值范围 . 分析 : 应用假言推理 , 根据对称的性质 , 函数 f ( x ) 图象上的点关于点 A (0,1) 的对称点在 函数 h ( x ) 的图象上 , 代入 h ( x ) 即可求得 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解 : (1) 设 P ( x , y ) 为函数 h ( x ) 图象上的任一点 , 点 P 关于点 A 的对称点为 Q ( x' , y' ), 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 ∴ x 1 x 2 - (1 +a ) < 0 对一切 x 1 , x 2 ∈ (0,2] 恒成立 . ∵ x 1 x 2 < 4, ∴ 1 +a ≥ 4, ∴ a 的取值范围是 [3, +∞ ) . 反思 本题主要考查了假言推理的应用 , 假言推理的规则为 “ 如果 p ⇒ q , p 为真 , 则 q 为真 ” . 本题由题设条件入手 , 通过推理 , 求得参数的取值范围 . 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三 三段论推理 【例题 2 】 已知 : 如图 , 在梯形 ABCD 中 , AB=DC=AD.AC 和 BD 是它的对角线 . 求证 : AC 平分 ∠ BCD , DB 平分 ∠ CBA. 分析 :“ 三段论 ” 中 , 大前提是已知的一般原理 , 小前提为所研究的特殊情况 , 结论则是根据一般原理对特殊情况作出的判断 . 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三 证明 : 等腰三角形的两底角相等 ,( 大前提 ) △ DAC 是等腰三角形 , DA , DC 是两腰 ,( 小前提 ) ∠ 1 = ∠ 2 . ( 结论 ) 两条平行线被第三条直线截出的内错角相等 ,( 大前提 ) ∠ 1 和 ∠ 3 是平行线 AD , BC 被 AC 截出的内错角 ,( 小前提 ) ∠ 1 = ∠ 3 . ( 结论 ) 等于同一个量的两个量相等 ,( 大前提 ) ∠ 2 和 ∠ 3 都等于 ∠ 1,( 小前提 ) ∠ 2 = ∠ 3 . ( 结论 ) 因此 AC 平分 ∠ BCD. 同理 DB 平分 ∠ CBA. 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三 反思 本题可写出六次三段论形式 , 但是事实上 , 每一次三段论的大前提并不需要写出 , 某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论 , 也可以不写出 . 如本题的证明还可写成 : 因为 DA=DC ( 省略大前提 ), 所以 ∠ 1 = ∠ 2 . 因为 AD ∥ BC , 且被 AC 截得的内错角为 ∠ 1 和 ∠ 3( 省略大前提 ), 所以 ∠ 1 = ∠ 3 . 所以 ∠ 2 = ∠ 3, 所以 AC 平分 ∠ BCD ( 省略大前提 , 小前提 ), 同理可证 DB 平分 ∠ CBA. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 传递性关系推理 分析 : 本题属于条件不等式的证明 , 直接用条件 a+b= 1 来推理 , 方向不够明确 , 但只要注意所求证式子的特点 , 我们不难想到利用传递性关系推理进行证明 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思 解本题的关键在于找准突破口 , 选择合理的方法 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 完全归纳推理 【例题 4 】 求证 : 当 1 ≤ n ≤ 4( n ∈ N + ) 时 , f ( n ) = (2 n+ 7)·3 n + 9 能被 36 整除 . 分析 : 由于 1 ≤ n ≤ 4( n ∈ N + ), 故 n 只取 1,2,3,4 四个自然数 , 从而可以进行完全归纳推理 . 证明 : 当 n= 1 时 , f (1) = (2 + 7) × 3 + 9 = 36, 能被 36 整除 ; 当 n= 2 时 , f (2) = (2 × 2 + 7) × 9 + 9 = 108 = 36 × 3, 能被 36 整除 ; 当 n= 3 时 , f (3) = (2 × 3 + 7) × 27 + 9 = 360 = 36 × 10, 能被 36 整除 ; 当 n= 4 时 , f (4) = (2 × 4 + 7) × 81 + 9 = 1 224 = 36 × 34, 能被 36 整除 . 综上 , 当 1 ≤ n ≤ 4( n ∈ N + ) 时 , f ( n ) = (2 n+ 7)·3 n + 9 能被 36 整除 . 反思 完全归纳推理有两个规则 : 一是前提中被判断的对象必须是该类事物的全部对象 ; 二是前提中的所有判断都必须是正确的 . 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 易错辨析 易错点 : 在应用三段论推理来证明问题时 , 首先应明确什么是问题中的大前提和小前提 . 在应用三段论进行推理的过程中 , 大前提、小前提或推理形式任何一个出现错误 , 都可能导致结论错误 . 【例题 5 】 如图 , 在 △ ABC 中 , AC>BC , CD 是 AB 边上的高 . 求证 : ∠ ACD> ∠ BCD. 错解 : 证明 : 在 △ ABC 中 , 因为 CD ⊥ AB , AC>BC , 所以 AD>BD , 所以 ∠ ACD> ∠ BCD. 错因分析 : 上面的证明过程中 , 小前提由 AD>BD 得出 ∠ ACD> ∠ BCD 是错误的 . 因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论 . 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 正解 : 证明 : 在 △ ABC 中 , 因为 CD ⊥ AB , 所以 ∠ ACD+ ∠ A= ∠ BCD+ ∠ B= 90° . 又因为 AC>BC , 所以 ∠ B> ∠ A , 所以 ∠ ACD> ∠ BCD. 反思 应用三段论推理证明问题时 , 必须保证大前提、小前提及推理 形式 全部正确 . 1 2 3 4 1 若 a> 0, b> 0, 则有 ( 　　 ) 答案 : C 1 2 3 4 2 “ 因为四边形 ABCD 是矩形 , 所以四边形 ABCD 的对角线相等 ”, 上述推理的大前提是 ( 　　 ) A. 正方形都是对角线相等的四边形 B. 矩形都是对角线相等的四边形 C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形 D. 矩形都是对边平行且相等的四边形 解析 : 由结论可得要证的问题是 “ 对角线相等 ”, 因此它应在大前提中体现出来 . 答案 : B 1 2 3 4 3 因为当 a> 0 时 , |a|> 0; 当 a= 0 时 , |a|= 0; 当 a< 0 时 , |a|> 0, 所以当 a 为实数时 , |a| ≥ 0 . 此推理过程运用的是演绎推理中的 　　　　　 推理 .  答案 : 完全归纳 1 2 3 4 4 补充下列三段论 : (1) 因为互为相反数的两个数的和为 0, 又因为 a 与 b 互为相反数 , 且 　　　　　 , 所以 b= 8 .  (2) 因为 　 ,   又因为 e = 2 . 718 28… 是无限不循环小数 , 所以 e 是无理数 . 答案 : (1) a=- 8 　 (2) 无限不循环小数是无理数