第四章 第三节.ppt

第三节　等腰三角形与 直角三角形 知识点一 等腰三角形 1 ．等腰三角形：有 _____ 相等的三角形是等腰三角形． 2 ．等腰三角形的性质 (1) 等腰三角形两条腰 _____ ，两个底角 _______ ，简称等 边对等角． 相等 两边 相等 (2) 等腰三角形顶角的 _______ 、底边上的 _____ 及底边上 的高线互相重合，简称“三线合一”． (3) 等腰三角形是轴对称图形，有 ____ 条对称轴． 3 ．等腰三角形的判定 (1) 有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2) 有两个 _____ 相等的三角形是等腰三角形，简称等角 对等边． 平分线 中线 1 角 逆向运用等腰三角形“三线合一”的性质也可以判定三角形 是等腰三角形． (1) 一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形． (2) 一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是 等腰三角形． (3) 一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是 等腰三角形． 知识点二 等边三角形 1 ．等边三角形：三条边均相等的三角形是等边三角形． 2 ．等边三角形的性质 (1) 等边三角形的三条边 _______ ，每个角都等于 _____ ． (2) 等边三角形是轴对称图形，有 ____ 条对称轴． 都相等 60° 3 3 ．等边三角形的判定 (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形． (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形． (3) 有一个角等于 60° 的 ___________ 是等边三角形． (4) 有两个角等于 _____ 的三角形是等边三角形． 60° 等腰三角形 知识点三 直角三角形 1 ．勾股定理及其逆定理 (1) 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜 边的平方．如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 . (2) 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明 线段垂直的重要依据． 2 ．直角三角形的性质 (1) 直角三角形的两个锐角 _____ ． (2) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _____ ． (3) 直角三角形中 30° 角所对的直角边等于 ___________ ． (4) 直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于 _____ ． 互余 一半 斜边的一半 30° 3 ．直角三角形的判定 (1) 有一个角是 _____ 的三角形是直角三角形． (2) 有两个角 _____ 的三角形是直角三角形． (3) 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形． (4) 如果三角形一边上的 ______ 等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形． 90° 互余 中线 知识点四 角平分线与线段的垂直平分线 1 ．角平分线 (1) 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 ______ (2) 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离 _____ 的 点在这个角的平分线上． 相等 相等 2 ．线段的垂直平分线 (1) 线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线 段的直线叫做这条线段的垂直平分线． (2) 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 _____ ． (3) 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的 ___________ 上 . 相等 垂直平分线 考点一 等腰三角形的性质与判定 (5 年 3 考 ) 命题角度❶　等腰三角形的性质与判定 例 1 在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是 3×3 的正方形网格，已知 A ， B 是两格点，在网格中找一点 C ，使 得△ ABC 为等腰直角三角形，则这样的点 C 有 ( 　 　 ) A ． 6 个　 B ． 7 个　 C ． 8 个　 D ． 9 个 【 分析 】 根据已知条件，分情况进行讨论． 【 自主解答 】 如图， AB 是腰长时，有 4 个点可以作为点 C ； AB 是底边时，有 2 个点可以作为点 C. 所以满足条件的点 C 的个数是 4 ＋ 2 ＝ 6. 故选 A. 讲： 分类讨论解等腰三角形问题 在求解与等腰三角形有关的问题时，如果腰或者顶角 不确定，那么需要分类讨论进行求解，最易犯错的地方就 是忽略分类讨论，导致漏解． 练：链接变式训练 3 1 ． (2017· 烟台 ) 某城市几条道路的位置关系如图所示，已 知 AB∥CD ， AE 与 AB 的夹角为 48° ，若 CF 与 EF 的长度相等， 则∠ C 的度数为 ( ) A ． 48° B ． 40° C ． 30° D ． 24° D 2 ． (2016· 滨州 ) 如图，△ ABC 中， D 为 AB 上一点， E 为 BC 上 一点，且 AC ＝ CD ＝ BD ＝ BE ，∠ A ＝ 50° ，则∠ CDE 的度数为 ( ) A ． 50° B ． 51° C ． 51.5° D ． 52.5° D 3 ． (2017· 历下二模 ) 如图，等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 50° ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D ，则∠ DBC 的度数是 _____ ． 15° 命题角度❷　等边三角形的性质与判定 例 2 如图，过边长为 1 的等边△ ABC 的边 AB 上一点 P ，作 PE⊥AC 于 E ， Q 为 BC 延长线一点，当 PA ＝ CQ 时，连接 PQ 交 AC 于 D ，则 DE 的长为 ( 　　 ) 【 分析 】 过 P 作 PF∥BC 交 AC 于 F ，得出△ APF 是等边三角形， 推出 AP ＝ PF ＝ QC ，根据等腰三角形性质求出 EF ＝ AE ，证得 △ PFD≌△QCD ，进而求得 DE. 【 自主解答 】 如图，过 P 作 PF∥BC 交 AC 于 F. ∵PF∥BC ，△ ABC 是等边三角形， ∴∠ PFD ＝∠ QCD ，△ APF 是等边三角形， ∴ AP ＝ PF ＝ AF.∵PE⊥AC ，∴ AE ＝ EF. ∵AP ＝ PF ， AP ＝ CQ ，∴ PF ＝ CQ. 又∵∠ PDF ＝∠ QDC ，∴△ PFD≌△QCD ，∴ FD ＝ CD. ∵AE ＝ EF ，∴ EF ＋ FD ＝ AE ＋ CD ， ∴ AE ＋ CD ＝ DE ＝ AC. ∵AC ＝ 1 ，∴ DE ＝ . 故选 A. 4 ．如图，直线 l∥m∥n ，等边△ ABC 的顶点 B ， C 分别在直 线 n 和 m 上，边 BC 与直线 n 所夹锐角为 28° ，则∠ α 的度数 为 ( ) A ． 28° B ． 30° C ． 32° D ． 45° C 5 ．如图，等边△ ABC 的边长为 6 ，∠ ABC ，∠ ACB 的角平分线 交于点 D ，过点 D 作 EF∥BC ，交 AB ， CD 于点 E ， F ，则 EF 的长 为 __ ． 4 考点二 勾股定理及其逆定理 (5 年 4 考 ) 例 3 (2013· 济南 ) 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端， 绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处，发现此时绳子末端距离地面 2 m ，则旗杆的高度为 ( 滑轮 上方的部分忽略不计 ) 为 ( ) A ． 12 m B ． 13 m C ． 16 m D ． 17 m 【分析】 设旗杆高度为 x ，利用勾股定理求出 x 即可． 【 自主解答 】 如图，设旗杆高度为 x ， 则 AC ＝ AD ＝ x ， AB ＝ x － 2 ， BC ＝ 8. 在 Rt △ABC 中， AB 2 ＋ BC 2 ＝ AC 2 ， 即 (x － 2) 2 ＋ 8 2 ＝ x 2 ，解得 x ＝ 17. 即旗杆的高度为 17 m ．故选 D. 在应用勾股定理时，注意以下两个问题： (1) 使用勾股定理 的前提必须是在直角三角形中； (2) 当直角三角形的斜边不 确定时，要注意分类讨论． 6 ．如图，在△ ABD 中，∠ D ＝ 90° ， CD ＝ 6 ， AD ＝ 8 ， ∠ ACD ＝ 2∠B ，则 BD 的长是 ( ) A ． 12 B ． 14 C ． 16 D ． 18 C 7 ．如图，四边形 ABCD 中， AB⊥AD 于 A ， AB ＝ 8 ， AD ＝ 8 ， BC ＝ 7 ， CD ＝ 25 ，则四边形 ABCD 的面积为 _________ ． 考点 三 直角三角形的性质 (5 年 1 考 ) 例 4 如图，已知∠ AOB ＝ 60° ，点 P 在边 OA 上， OP ＝ 10 ，点 M ， N 在边 OB 上， PM ＝ PN. 若 MN ＝ 2 ，则 OM ＝ ( 　 　 ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 【分析】 过点 P 作 PH⊥MN 于 H ，根据等腰三角形的性质求 出 MH ，根据直角三角形的性质求出 OH ，计算即可． 【 自主解答 】 如图，作 PH⊥MN 于 H ， ∵ PM ＝ PN ，∴ MH ＝ NH ＝ MN ＝ 1. ∵∠AOB ＝ 60° ，∴∠ OPH ＝ 30° ， ∴ OH ＝ OP ＝ 5 ，∴ OM ＝ OH － MH ＝ 4. 故选 B. 直角三角形的性质： (1) 两锐角互余； (2) 勾股定理； (3) 斜边的中线等于斜边的一半； (4)30° 角所对的 直角边等于斜边的一半． 8 ．如图， Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，∠ A ＝ 55° ，将其折叠， 使点 A 落在边 CB 上 A′ 处，折痕为 CD ，则∠ A′DB ＝ ( ) A ． 40° B ． 30° C ． 20° D ． 10° C 9 ．如图，正方形网格的边长为 1 ，点 A ， B ， C 在网格的格点 上，点 P 为 BC 的中点，则 AP ＝ ______ ． 考点 四 角平分线与线段的垂直平分线 (5 年 1 考 ) 命题角度❶　角平分线的性质与判定 例 5 如图，已知在△ ABC 中， CD 是 AB 边上的高线， BE 平 分∠ ABC ，交 CD 于点 E ， BC ＝ 5 ， DE ＝ 2 ，则△ BCE 的面积等 于（ ） A ． 10 B ． 7 C ． 5 D ． 4 【 分析 】 作 EF⊥BC 于 F ，根据角平分线的性质求得 EF 的长， 然后根据三角形面积公式求得即可． 【 自主解答 】 如图，作 EF⊥BC 于 F ， ∵ BE 平分∠ ABC ， ED⊥AB ， EF⊥BC ，∴ EF ＝ DE ＝ 2 ， ∴ S △BCE ＝ BC·EF ＝ ×5×2 ＝ 5. 故选 C. 10 ．如图，△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， AC ＝ BC ， AD 平分∠ CAB 交 BC 于 D ， DE⊥AB 于 E ，且 AB ＝ 6 ，则△ DEB 的周长是 ( ) A ． 6 B ． 4 C ． 10 D ．以上都不对 A 11 ．如图， AB∥CD ， BP 和 CP 分别平分∠ ABC 和∠ DCB ， AD 过点 P ，且与 AB 垂直．若 AD ＝ 8 ，则点 P 到 BC 的距离是 __ ． 4 命题角度❷　线段垂直平分线的性质与判定 例 6 如图，四边形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，垂足为 E ，下列结 论不一定成立的是 ( 　 　 ) A ． AB ＝ AD B ． AC 平分∠ BCD C ． AB ＝ BD D ．△ BEC≌△DEC 【分析】 根据线段垂直平分线的性质可得 AB ＝ AD ， BC ＝ CD ， 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AC 平分∠ BCD ， EB ＝ DE ，进而可证明△ BEC≌△DEC. 【 自主解答 】 ∵AC 垂直平分 BD ， ∴ AB ＝ AD ， BC ＝ CD ， ∴ AC 平分∠ BCD ， EB ＝ DE ， ∴∠ BCE ＝∠ DCE. 在 Rt △BEC 和 Rt △DEC 中， ∴ Rt △BEC≌ Rt △DEC . 故选 C. 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，利用这个 性质可以证明两条线段相等，进而由等腰三角形的性质解 决相关的问题． 12 ．如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AD⊥BC ， E 为 AD 上一 点，∠ ABC ＝ 60° ，∠ ECD ＝ 40° ，则∠ ABE ＝ ( ) A ． 10° B ． 15° C ． 20° D ． 25° C 13 ． (2017· 历城一模 ) 如图，在△ ABC 中， DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E. 若∠ A ＝ 30° ，∠ ACB ＝ 80° ，则∠ BCE ＝ ___ 度． 50 14 ．如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ，分别以点 A 和点 B 为圆 心，以相同的长 ( 大于 AB) 为半径作弧，两弧相交于点 M 和 点 N ，作直线 MN 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E. 若 AC ＝ 3 ， AB ＝ 5 ，则 DE ＝ ．