人教A版高中数学选修2-1《2.4.2抛物线的简单几何性质》课件.pptx

第二章　 §2.4　 抛物线 2.4.2 　抛物线的简单几何性质 学习目标 1. 了解抛物线的范围、对称性 、顶点 、焦点、准线等几何性质 . 2 . 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 . 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　抛物线的范围 思考 　 观察 右侧 图形 ， 思考以 下 问题： (1) 观察焦点在 x 轴 的抛物 线与 双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ 抛物线 与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线， 但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心 . 答案 思考 　 (2) 根据图形及抛物线方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 如何确定横坐标 x 的范围？ 由抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 有 所以 x ≥ 0. 所以抛物线 x 的 范围 为 x ≥ 0. 抛物线在 y 轴的右侧，当 x 的值增大时 ， ︱ y ︱也增大 ， 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 . 答案 梳理 抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 中， x ∈ ， y ∈ . 抛物线 y 2 ＝－ 2 px ( p >0) 中， x ∈ ， y ∈ . 抛物线 x 2 ＝ 2 py ( p >0) 中， x ∈ ， y ∈ . 抛物线 x 2 ＝－ 2 py ( p >0) 中， x ∈ ， y ∈ . ( － ∞ ， 0] [0 ，＋ ∞ ) ( － ∞ ，＋ ∞ ) ( － ∞ ， 0] ( － ∞ ，＋ ∞ ) ( － ∞ ，＋ ∞ ) [0 ，＋ ∞ ) ( － ∞ ，＋ ∞ ) 知识点二　四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0) y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x 2 ＝ 2 py ( p >0) x 2 ＝－ 2 py ( p >0) 图形 范围 x ≥ 0 ， y ∈ R x ≤ 0 ， y ∈ R y ≥ 0 ， x ∈ R y ≤ 0 ， x ∈ R 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点 准线方程 顶点坐标 O (0 ， 0) 离心率 e ＝ 1 通径长 2 p 知识点三　直线与抛物线的位置关系 当 k ≠ 0 时，若 Δ >0 ，则直线与抛物线 有 个 不同的公共点；若 Δ ＝ 0 时，直线与抛物线 有 个 公共点；若 Δ 0 ). ∴ 抛物线的标准方程为 y 2 ＝ 12 x 或 y 2 ＝－ 12 x ， 其准线方程分别为 x ＝－ 3 或 x ＝ 3 . 例 1 　 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9 x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 36 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3 ，求抛物线的方程及抛物线的准线方程 . 解答 引申探究 将本例改为 “ 若抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若 △ OAB 的面积等于 4 ” ，求此抛物线的标准方程 . 解答 由题意，设抛物线方程为 y 2 ＝ 2 mx ( m ≠ 0) ， 所以 | AB | ＝ 2| m |. 因为 △ OAB 的面积为 4 ， 用待定系数法求抛物线方程的步骤 反思与感悟 跟踪训练 1 　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 相交于 A ， B 两点， | AB | ＝ ， 求抛物线方程 . 解答 由已知，抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上，也可能在负半轴上 . 故可设抛物线方程为 y 2 ＝ ax ( a ≠ 0). 设抛物线与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 的交点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). ∵ 抛物线 y 2 ＝ ax ( a ≠ 0) 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 都关于 x 轴对称， ∴ 点 A 与 B 关于 x 轴对称 ， ∴ 所求抛物线方程是 y 2 ＝ 3 x 或 y 2 ＝－ 3 x . 类型二　抛物线的焦半径和焦点弦问题 由 抛物线 y 2 ＝ 8 x 的焦点为 (2 ， 0) ，得直线的方程为 y ＝ x － 2 ，代入 y 2 ＝ 8 x 得 ( x － 2) 2 ＝ 8 x 即 x 2 － 12 x ＋ 4 ＝ 0. 所以 x 1 ＋ x 2 ＝ 12 ，弦长为 x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ 12 ＋ 4 ＝ 16. 例 2 　 (1) 过抛物线 y 2 ＝ 8 x 的焦点，倾斜角为 45° 的直线被抛物线截得的弦长为 ____. 16 答案 解析 (2) 直线 l 过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点，与抛物线交于 A ， B 两点，若 | AB | ＝ 8 ，则直线 l 的方程为 _______________________. x ＋ y － 1 ＝ 0 或 x － y － 1 ＝ 0 答案 解析 ∵ 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点坐标为 (1 ， 0) ， 若 l 与 x 轴垂直，则 | AB | ＝ 4 ，不符合题意， ∴ 可设所求直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1 ). (3) 过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点作直线交抛物线于点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 若 | AB | ＝ 7 ，则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为 ___. 答案 解析 (1) 抛物线上任一点 P ( x 0 ， y 0 ) 与焦点 F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： 反思与感悟 (2) 已知 AB 是过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点的弦 ， F 为抛物线的焦点 ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则： ⑤ 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 . (3) 当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于 2 p . 跟踪训练 2 　已知直线 l 经过抛物线 y 2 ＝ 6 x 的焦点 F ，且与抛物线相交于 A ， B 两点 . (1) 若直线 l 的倾斜角为 60° ，求 | AB | 的值； 解答 因为直线 l 的倾斜角为 60° ， 若设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 ＋ x 2 ＝ 5 ， (2) 若 | AB | ＝ 9 ，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离 . 解答 命题角度 1 　与抛物线有关的最值问题 类型三　抛物线综合问题 解答 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的准线方程为 x ＝－ 1 ， 如图，过点 P 作 PN 垂直 x ＝－ 1 于点 N ， 由抛物线的定义可知 | PF | ＝ | PN | ， 即 ∠ PAN 最小，即 ∠ PAF 最大， 此时， PA 为抛物线的 切线， 得 k 2 x 2 ＋ (2 k 2 － 4) x ＋ k 2 ＝ 0 ， 所以 Δ ＝ (2 k 2 － 4) 2 － 4 k 4 ＝ 0 ， 解得 k ＝ ±1 ， (1) 若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点 . (2) 以上问题一般转化 为 “ 两点之间线段最短 ” 或 “ 点到直线的垂线段最短 ” 来解决 . 反思与感悟 跟踪训练 3 　已知直线 l 1 ： 4 x － 3 y ＋ 6 ＝ 0 和直线 l 2 ： x ＝－ 1 ，抛物线 y 2 ＝ 4 x 上一动点 P 到直线 l 1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是 由 题意知 ， 直线 l 2 ： x ＝－ 1 为抛物线 y 2 ＝ 4 x 的准线 . 由抛物线的定义知 ， 点 P 到直线 l 2 的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F (1 ， 0) 的距离 . 故所求最值可转化为在抛物线 y 2 ＝ 4 x 上找一个点 P ，使得点 P 到点 F (1 ， 0) 和到直线 l 1 的距离之 和 最小 ， 最小值为 F (1 ， 0) 到直线 l 1 ： 4 x － 3 y ＋ 6 ＝ 0 的距离 ， 即 d ＝ ＝ 2. 答案 解析 命题角度 2 　定值或定点问题 例 4 　抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上有两动点 A ， B 及一个定点 M ， F 为抛物线的焦点，若 | AF | ， | MF | ， | BF | 成等差数列 . (1) 求证：线段 AB 的垂直平分线过定点 Q . 证明 设点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x 0 ， y 0 ) ， 即 t ( x － x 0 － p ) ＋ yp ＝ 0 ，可知线段 AB 的垂直平分线过定点 Q ( x 0 ＋ p ， 0 ). (2) 若 | MF | ＝ 4 ， | OQ | ＝ 6( O 为坐标原点 ) ，求抛物线的方程 . 解答 反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等 . 设 l ： x ＝ ty ＋ b ，代入抛物线 y 2 ＝ 4 x ，消去 x 得 y 2 － 4 ty － 4 b ＝ 0 ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 y 1 ＋ y 2 ＝ 4 t ， y 1 y 2 ＝－ 4 b . ＝ t 2 y 1 y 2 ＋ bt ( y 1 ＋ y 2 ) ＋ b 2 ＋ y 1 y 2 ＝－ 4 bt 2 ＋ 4 bt 2 ＋ b 2 － 4 b ＝ b 2 － 4 b ， 解得 b ＝ 2 ，故直线过定点 (2 ， 0 ). 证明 当堂训练 答案 解析 1. 已知点 A ( － 2 ， 3) 在抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 的准线上，记 C 的焦点为 F ，则直线 AF 的斜率为 √ 2 3 4 5 1 2. 已知点 P 是抛物线 y 2 ＝ 2 x 上的一个动点，则点 P 到点 (0 ， 2) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 答案 解析 √ 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 易知抛物线的准线方程为 x ＝－ 1 ，则线段 AB 的中点到准线的距离为 3 － ( － 1) ＝ 4. 由抛物线的定义易得 | AB | ＝ 8. 3. 过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3 ，则 | AB | ＝ ___. 8 答案 解析 4. 已知过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线交抛物线于 A ， B 两点，若线段 AB 的长为 8 ，则 p ＝ ___. 2 3 4 5 1 2 答案 解析 设点 A ， B 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， 易知过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F ， ∴ y 1 ＋ y 2 ＝ 2 p ， y 1 y 2 ＝－ p 2 . 即 (2 p ) 2 － 4 × ( － p 2 ) ＝ 32. 又 p >0 ， ∴ p ＝ 2 . 2 3 4 5 1 5. 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在抛物线 C 上，且 | AK | ＝ | AF | ，则 △ AFK 的面积为 ___. 易知 F (2 ， 0) ， K ( － 2 ， 0) ，过点 A 作 AM 垂直准线于点 M ，则 | AM | ＝ | AF | ， 8 答案 解析 2 3 4 5 1 规律与方法 1. 抛物线的中点弦问题用点差法较简便 . 2. 轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系 . 3. 在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题 . 解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等 . 解决这些问题的关键是代换和转化 .